资源描述：
《极限环和平面图貌.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、OrdinaryDifferentialEquationsChapter6§6.4极限环和平面图貌6.4.1极限环例一阶非线性驻定方程组⎧dx22=−−yxxy(1+−)⎪⎪dt⎨⎪dy22=−xyxy(1+−)⎪⎩dt取极坐标x=rycos,θ=rsinθ⎧dr2=−rr(1),⎪⎪dt⇒⎨dθ⎪=1⎪⎩dtOrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6⎧dr2方程组有两个特解⎪⎪=rr(1−)dt⇒⎨(1)0,rt
2、=θ=−t00,t≥t，奇点；⎪dθ=1⎪⎩dt(2)1,rt==−≥θt00,tt，以单位圆为轨线的周期解，周期为2π且沿逆时针方向旋转。dr2dθ沿圆RR=<1,=−>RR(1)0,=>10111dtdt*rR==1θθ轨线按逆时针方向从圆rR=1上走出圆外；dr2dθ沿圆RR=>1,=−10222dtdt*rR==2θθ轨线按逆时针方向从圆rR=2上走到圆内。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsCh
3、apter6R2R1r=1注：孤立的周期闭轨r=1称为极限环OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6设Γ是系统⎧dx=f(,)xy⎪⎪dt⎨dy⎪=g(,)xy⎪⎩dt的一个极限环,如果存在着Γ的一个δ邻域，使从此邻域内出发的其它解均正向()t→+∞趋近于Γ，则称Γ为稳定的极限环。如果其它解均负向()t→−∞趋近于Γ，则称Γ为不稳定的极限环。如果从Γ的δ邻域出发的其它轨线在Γ的一侧正向趋近于Γ，另一侧负向趋近于Γ
4、，则称此Γ为半稳定的极限环。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理8Poincare-Bendixson环域定理设区域G是由两条简单闭曲线ll,围成的12环形域并且满足下面条件:(1)G及其边界ll,上不含奇点;12(2)从G的边界ll,上各点出发的轨线都不能12离开(或进入);G(3)ll12,均不是闭轨线.则在G内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨)，如果闭轨是
5、惟一的,则它一定是一条稳定的(不稳定的)极限环。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理9设系统⎧dx=f(,)xy⎪⎪dt⎨dy⎪=g(,)xy⎪⎩dt的右端函数f(,)xy，gxy(,)在某个单连域D内∂f(,)xyg∂(,)xy连续可微,并且+∂∂xy在D内不变号,且在D的任何子域内不恒为零，⎧dx=f(,)xy⎪⎪则方程组dt在D内不存在任何闭轨线。⎨dy⎪=g(,)xy⎪⎩dtOrdinaryDif
6、ferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理9*对于方程组⎧dx=f(,)xy⎪⎪dtDulac函数⎨dy⎪=gxy(,)⎪⎩dt若在某个单连域D内存在一个连续可微函数∂∂B(,),xy使得()()BfB+g∂∂xy不变号,且在D的任何子域中不恒为零，则方程组不存在全部位于D内的闭轨线。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsCha
7、pter6定理9**如果沿着系统⎧dx=f(,)xy⎪⎪dt⎨dy⎪=gxy(,)⎪⎩dt的极限环Γ有T∂∂fxtyt((),())gxtyt((),())∫(+)dt<>0(0)∂∂xy0则Γ是稳定(不稳定)的.其中是的TΓ周期。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6例1讨论非线性方程组⎧dx2222=−y0.05(xxy+−1)(xy+−4)⎪⎪dt⎨⎪dy=−−x0.05(yxy22+−1)(xy22+−
8、4)⎪⎩dt⎧xr=cosθ引入极坐标⎨⎩yr=sinθ后产生的极限环Γ1:1r=及Γ=2:2r的稳定性。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））目录上页下页返回结束OrdinaryDifferenti
