初值问题的数值解法.pdf

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1、湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料陈以平编写第六章常微分方程初值问题的数值解法_习题课1.欧拉法的局部截断误差的阶为。改进欧拉法的局部截断误差的阶为。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。2.欧拉法的绝对稳定实区域为。二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为。三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为。四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为。yf(x,y)3.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();y(x)y改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是().(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h

2、5)4.改进欧拉法的平均形式公式是()yyhf(x,y)yyhf(x,y)pkkkpkkk.(A)ycykhf(xk,yp)(B)ycykhf(xk,yp)y(yy)y(yy)kpckpcyyhf(x,y)yyhf(x,y)pkkkpkkk(C)ycykhf(xk,yp)(D)ycykhf(xk,yp)hy(yy)y(yy)kpckpc答案：(D)5.解微分方程初值问题的方法，()的局部截断误差为O(h3).(A)欧拉法

3、(B)改进欧拉法(C)三阶龙格－库塔法(D)四阶龙格－库塔法答案：(B)解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，O(h3)。6.对Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。解：其局部截断为Tn1y(xn1)y(xn)hf(xn,y(xn))对y(xn1)在xn处作Talor展开，有2h3y(x)y(x)yh(x)y(x)O(h)n1nnn2湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料陈以平编写而且y(xn)f(xn,y(xn))，因此其局部截断为Tn1y(xn1)y(xn)hf(xn,y(xn))2h3y(x)y

4、h(x)y(x)O(h)nnn2y(x)yh(x)nn2h32y(x)O(h)O(h)n22h所以，显式Euler方法是1阶方法，其截断误差的主项是y(x)。n27.对隐式Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。解：其局部截断为Tn1y(xn1)y(xn)hf(xn1,y(xn1))对y(xn1)在xn处作Talor展开，有2h3y(x)y(x)yh(x)y(x)O(h)n1nnn2而且y(xn1)f(xn1,y(xn1))，也在xn处作Talor展开，有2y(xn1)y(xn)

5、yh(xn)O(h)所以，因此其局部截断为Tn1y(xn1)y(xn)hf(xn1,y(xn1))2h3y(x)yh(x)y(x)O(h)nnn223y(xn)yh(xn)hy(xn)O(h)2h32y(x)O(h)O(h)n22h所以，隐式Euler方法也是1阶方法，其截断误差的主项是y(x)。n28.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法.解：其局部截断为hTn1y(xn1)y(xn)[f(xn,y(xn))f(xn1,y(xn1))]2对y(xn1)在xn处作Talor展开，

6、有23hh4y(x)y(x)yh(x)y(x)y(x)O(h)n1nnnn26而且y(xn)f(xn,y(xn))，y(xn1)f(xn1,y(xn1))，对y(xn1)也在xn处作Talor展开，有2h3y(x)y(x)yh(x)y(x)O(h)n1nnn2所以，因此其局部截断为hTn1y(xn1)y(xn)[f(xn,y(xn))f(xn1,y(xn1))]2湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料陈以平编写23hh4y(x)yh(x)y(x)y(x)O(h)nnnn26

7、23hhhh4y(x)y(x)y(x)y(x)y(x)O(h)nnnnn222123h43y(x)O(h)O(h)n123h所以，梯形公式是2阶方法，其截断误差的主项是y(x)。n12yyxy(x.)9.用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2.计算过程保留4位小数.y()解:h=0.2,f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代公式2yk1ykhf(xk,yk)ykhy