《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第十章答案.pdf

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1、1.设X赋范线性空间,xx,,L,x是X中k个线性无关向量,αα,,L,α是一组数,12k12k证明:在X上存在满足下列条件:(1)fx()=α,i=1,2,L,k;(2)f≤M的线性连续泛函iikkf的充要条件为:对任何数tt1,,2L,tk,∑tiαi≤M∑txii.i=1i=1证[必要性]若线性连续泛函f满足(1)和(2),则kkkk∑tiαi=∑ftx(ii)≤f⋅∑txii≤M∑txii.i=1i=1i=1i=1kk[充分性]若对任意数tt1,,2L,tk,有∑tiαi≤M∑txii,则令i=1i=1kX0

2、=spanxx{1,2,L,xk},对任意的,∑txii∈X0,定义X0上的线性泛函i=1kkkkkf0:f0∑tixi=∑tiαi.因f0∑tixi=∑tiαi≤M∑tixi,故f0是有界线性泛函.i=1i=1i=1i=1i=1由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使f=f,且满足X00(1)fx()=f(x)=α,i=1,2,L,k;(2)f=f≤M.证毕.i0iiX0X02.设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,x∈X,又dxZ(,)>0.证明存在f∈X′00000满足条件:1当x∈Z

3、时,fx()=0;2fx()=dxZ(,);3f=1.00证令M={λx+xλ∈£,x∈Z}.在M上定义泛函f:f(λx+x)=λdxZ(,),则00000(1)当x∈Z时,f(x)=f(0⋅x+x)=⋅0dxZ(,)=0;0000(2)fx()=f(1⋅x+0)=⋅1dxZ(,)=dxZ(,);0000(3)对任意的λx+∈xM,则01f0(λx0+x)=λdxZ(0,)≤λx0+x=λx0+x,λ故f≤1;M又对∀∈xZf,(x)=f(x−x)≤fx−x,由x的任意性,可得000000f0(x0)≤fdxZ0(0

4、,),而fx(0)=dxZ(0,),所以f0M≥1.综上讨论知f0M=1.由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使f=f且f=f,故结论成M0X0M立.3.证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.∞证设{}x是X中的一列线性无关向量.记M=spanxx{,,L,x},n=1,2,L.因nn=1n12n∞{}xnn=1是线性无关的,故xn+1∉Mn,由上述习题2知,∃∈fnX′,使fn=1,fxn(n)=dxM(n,n−1),∞f在M上为零,n=1,2,L.只需证明{}f是X′中的线性无关的向量.事实上:n

5、n−1nn=1nn若∃Kii,=1,2,,Ln,使得∑Kfii=0,则有∑Kfxii()1=0,因为fxi(1)=0,i=2,3,,Ln,i=1i=1所以Kfx()=0,又fx()≠⇒0K=0.类似可证Kfx()=⇒0K=0,i=2,3,L,n.111111iiii∞这样我们证明了X′中有无限多个线性无关的向量{}f,因此X′是无限维的.nn=14.证明Banach空间X自反的充要条件是X′自反.证若X是Banach空间,则存在一个从X到X′′的自然的等距同构映射J:X→X′′,X若J(X)=X′′,则称X是自反的,

6、其中J是这样定义的,若f∈XJx′,()(f)=fx().为XX方便起见,记X到X′′的自然的等距同构映射为J,X′到X′′′的自然的等距同构映射为J.01我们要证明J(X)=X′′⇔JX(′)=X′′′.01若J(X)=X′′.对任意F∈X′′′,定义f∈X′:若x∈Xfx,()=FJx(()).对∀∈xX,00(J1(f))(J0(x))=J0(x)(f)=fx()=FJ(0(x)),因J0(X)=X′′,因此J1(f)=F,这就证明了JX(′)=X′′′.1反之,若JX(′)=X′′′,而J(X)≠X′′.则存

7、在F∈X′′′,使F在J(X)上恒为零,而100F=1.但JX(′)=X′′′,必有f∈X′,使J(f)=F.对∀∈xX,11fx()=J0(x)(f)=(J1(f))(J0(x))=FJ(0(x))=0,所以,f=0,此与Jf=F=1矛盾.因此必有J(X)=X′′.证毕.10bn5.设αα,,,Lα,L是一列数,证明存在[ab,]上有界变差函数gt(),使tdgt()=α,12n∫nanin=0,1,2,L成立的充要条件是对一切多项式pt()=∑cti成立i=0n∑ciαi≤Mmaxpt(),atb≤≤i=0其中M

8、为常数.证[充分性]在Cab[,]的线性子空间P={pp是[ab,]上定义的多项式}上定义线nnni性泛函f:f∑cti=∑ciαi.由条件∑ciαi≤Mmaxpt()可知f在P上是有界的.因atb≤≤i=0i=0i=0为P在Cab[,]上稠密,所以,可将f连续地延拓到Cab[,](不妨仍记为f),这样f是Cab[,]n上的连续线性