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《《实变函数与泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案剖析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十章巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1.设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）,(2)的线性连续泛函的充要条件为：对任何数，都成立。证明必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函，使限制在上就是。显然满足条件（1）和（2）。证毕。2．设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，，又，证明存在，满足条件：1）当时，；2）；3）。证明记。在M上定义泛函：，则以下三条件成立：1）当时，；2
2、）；3）在M上有界，且。其中3）可以这样证明：若，则，所以。又对任意，。由的任意性，我们得到。又，这样我们就证明了。3．证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。证明设是X中一列线性无关向量。记。因是线性无关的。，因此由习题2，存在，使,在为零,.以下我们来证明是中线性无关的向量.事实上,若有,使.,则.这样由于,，必有,因,所以。类似可证,，从而，。这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.证毕.4.证明Bananch空间X自反的充要条件是自反.证明若X是banach空间,则存在一个从X到的自然的等距同构映射,.若,则称X是自反的。其中是这样定
3、义的,若,,.为方便起见,记X到的自然的等距同构映射为，到的自然的等距同构映射为。我们要证明的充要条件为.若.对任意,定义：若，。对任意，。因,因此。这就证明了。反之,若,而。则存在,使F在上恒为零，而。但。必有，使。对任意,这样。但,矛盾。因此必有。证毕。5．设是一列数，证明存在[a,b]上有界变差数列，使，成立的充要条件为对一切多项式成立着其中M为常数。证明充分性。在C[a,b]的线性子空间上定义线性泛函f：由条件，可知f在上是有界的。因为在C[a,b]上稠密，所以可将f连续的延拓到C[a,b]上（不妨仍记为f），这样f是C[a,b]上连续线性泛函，且，。由Rie
4、sz表示定理，存在有界变差函数g，使。特别的必要性。若存在有界变差函数，使。定义C[a,b]上的有界线性泛函。则对每一多项式，有取。证毕。6．设T为中单向移位算子，即若，则，求。解若，，则，且，所以。7．举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉。解设X为的线性子空间，的充分且必要条件是除去有限多个外其余皆为零。（）。若，定义X到X的线性映射则。对任一，当时，有，因此。以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉。8．证明：在完备度量空间X中成立闭球套定力，即若且，则存在唯一的；反之，若在度量空间X中成立闭球套定理，则X是完备度量空间。证明设X是完备的度量
5、空间，为一列闭球套：若，对任给，存在N，当时，，因此当时，。所以是柯西列。设。因为当时，，又是闭集，。因此。下面证明。若，则这样必有。反之，若X满足闭球套定理，是柯西列。则存在，当时，，记。存在，当时，，记-------。存在，当时，记这样得到一列闭球，对任意k和任意，有。所以，即于是，由假设存在，且。因为为柯西列，，则必有。因此X必为完备度量空间。证毕。9．设是一列复数，若对任何，级数都收敛，证明：，其中的定义见第八章题9。证明对每一个n，定义。若，。因为所以，且。设满足，则，则这就证明了。由题设条件，对任意，收敛，从而有界。由一致有界性定理，有界，设，即。令。所以
6、。证毕。10．设是[a,b]上的L可测函数，，若对一切，函数都在[a,b]上L可积，则，其中。证明令。则显然为上有界的可测函数。若，定义上泛函。则是上的有界线性泛函，且。又因为，由勒贝格控制收敛定理，。由一致有界性定理，存在，使，即，因为，由Levi定理。所以。证毕。11．证明引理：设X是Banach空间，p(x)是X上泛函，满足条件：1）；2）时，；3）；4）当时，。证明必有M>0，使对一切，成立。证明先证对任意M>0，是X中闭集。事实上，若，且，则，所以，因此是闭集。记，。则。由Baire纲定理，存在某，使在某一小球中稠密。因为是闭集，则。对X中任意一点，和在O中
7、，所以。因此。这样取，则。证毕。12．设，其中X是Banach空间，Y是赋泛线性空间，若对每个，都收敛，令，证明T是X到Y中有界线性算子，并且。证明因为对每个，收敛，从而有界。由一致有界性定理，存在M>0，。若定义，则显然T是线性的，且，所以T是有界的，且，证毕。13．设X是可分Bananch空间，M是中有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。证明设，存在K>0，，，设是X的可数稠密子集。考察有界数列。由Weierstrass定理，存在收敛子列。同理也有收敛子列。一般的，若已有子列收敛，考察。由于数列的有界性可找到收敛子列。我们用对角线法则，取
