《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案.pdf

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1、第九章内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1.Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系{e}n证明:若X是可分的,设{x}是X的一个可数稠密子集。不妨设{x}是线性无关的。nn用Gram−Schmidt方法,存在可数的完全规范正交系{e},使span{e,L,e}=n1nspanx{1,L,xn}。这样。因此{en}是完全的。反之,若{e}是X的一个完全规范正交系,则span{e}在X中稠密。nnnX0=∑(ak+ibeabk)kk,k∈QN,=1,2,3,L是X中的可数稠密子集,因此k=1X是可分的。证毕2*例2.

2、求证:P是Hilbert空间X上的投影算子的充分必要条件是:P=P且P=P证明:设P是X中相对应与闭线性子空间Y的投影算子。对任意x∈X,存在x∈Y,1⊥⊥x∈Y,使x=x+x,Px=x。对于x,x=x+0,其中x∈Y,0∈Y。因2121111122此Px=x,即Px=Px=Px,因此P=P111⊥设xy,∈X,x=x+x,y=y+y。其中xy,∈Y,xy,∈Y。这样12121122*(Pxy,)=(xy1,1+y2)=(xy1,1)=(x1+xPy2,)=(xPy,)。这就证明了P=P。**反之,若P满足P=P,P=P。令Y={xPx=x},则Y是

3、X中的线性子空间。Y还是闭的。事实上,若x∈Y,limx=x,则Px=limPx=limx=x。故x∈Y,nn00nn00n→∞n→∞n→∞因此Y是闭的线性子空间,我们要证明P是Y上的投影算子。2设x∈X,则x=Px+(x−Px)。由于P=P,因此PPx=Px,即Px∈Y。又*(I−P)=I−P因此,对任意的y∈Y,有⊥(x−Pxy,)=(xI,(−Py))=(xy,−y)=0,即x−Px∈Y。由x=Px+(I−Px),⊥其中Px∈Y,(I−PxY)∈。而这种分解是唯一的,可得P是X到Y上的投影算子。证毕。例3.设T是Hilbert空间X上有界线性算

4、子。若存在X上的一个稠密线性子空间X,使0对任意的x∈X,成立Tx=x,且T的值域在X中稠密,求证:T是酉算子0证明:由5节定理5,只要证明T是映射到上的保范算子。设x∈X在X中稠密,必有{xn}⊂X0,limxn=x。于是Tx=limTxn=limxn=x。因此T是保范的。n→∞n→∞n→∞我们再证明T是映射到上的,因为T的值域在X中稠密,因此对任意y∈X,存在x∈X,使limTx=y。由于{Tx}收敛,因此Tx柯西列。又nnnnn→∞xn−xm=Tx(n−xm)=Txn−Txm,因此{xn}也是柯西列。设limxn=x0,则y=n→∞limTx=

5、Tx,因此T是映射到上的。n0n→∞这样,由5节定理5,T是酉算子,证毕习题解答1设{x}是内积空间X中点列,若x→x(n→∞)且对一切y∈X有(x,y)→nnn(xy,)(n→∞),证明:xn→x(n→∞)222证明:x−x=(x−x,x−x)=x−(x−x)(−x−x)+x=0(n→∞)nnnnnn因此x→x(n→∞)n∞22,设X1,X2,LXnL是一列内积空间,令X={xn}xn∈Xn,∑xn〈∞,当n=1{xn}{yn}∈X时,规定α{xn}+β{yn}={αxn+βyn},其中α,β是数,∞{xn}{,yn}=∑xn,

6、yn,证明:X是内积空间,又当Xn都是Hilbert空间,i=1证明:X也是Hilbert空间。∞证明:1。若xn,xn=0,则∑xn,xn=0,因此对任意n,xn,xn=0,n=1n=123,,,L,即{x}=0n∞∞2.α{xn}+β{yn}{},zn=∑αxn+βyn,zn=∑(αxn,zn+βyn,zn)n=1n=13.这就证明了X是n维线性空间。又由第七章第22题,X是完备的(在22题中取p=2),因此X是Hilbert空间。3,设X是n维线性空间,{ee,,Le}是X的一组基,证明(xy,)成为X上内积的12n充分必要条件是存在nn×(α

7、)正定方阵使得uvnnn0≤(xx,)=∑xeuu,∑xevv=∑αuvuxxvu=1v=1uv,=1n证明:必要性。若(xy,)是X上内积。设αuv=eeu,v。对任意x=∑xeuuu=1nn∑αuvuxxv=(xx,)>0且当x≠0时,∑αuvuxxv=(xx,)>0因此(αuv)正定uv,=1uv,=1方阵。nnn充分性。若(αuv)正定方阵,则对任意x=∑xeyuu,=∑yeuu,(xy,)=∑αuvuxyv。u=1u=1uv,=1下证(xy,)是X中内积。n1.(xx,)=∑αuvuxxv因(αuv)正定方阵,可得(xx,)≥0

8、,且当(xx,)==0时,x=0uv,=1n2..(αx+βyz,)=∑(ααuvxu+βyzu)vuv,=

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