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《《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十一章答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一章线性算子的谱1．设X=C[0,1],(Axt)()=txtx(),∈X。证明σ()[0,1]A=，且其中没有特征值。证明当λ∈[0,1]时，常值函数1不在λI−A的值域中，因此λI−A不是满射，这样λσ∈()A。1反之若λ∈[0,1]，定义算子R:R=xt()。则由于λ∈[0,1]，且λλλ−t11Rx=maxxt()≤xλatb≤≤λ−td(,[0,1])λ因此R是C[0，1]中有界线性算子。λ易验证R(λI−A)=(λI−AR)=I，所以λ∈σ()A。λλ总之σ()[0,1]A=，若
2、Af=λf，则对任意t≠λ，tft()=λft()，可推得ft()=0。由于ft()∈C[0,1]，必有ft()≡0，所以A无特征值。证毕。it2．设X=C[0,2],(πAxt)()=extx(),∈X.，证明σ(){A=λλ=1}。eit0,(eIit0−Axt)()=(eit0−extit)()。因为常值函数1不在eIit0−A证明对任意的值域中，因此eit0∈σ()A。这样{λλ=1}⊂σ()A。1反之，若λ≠1，定义R:(Rxt)()=xt()。类似第1题可证R是有界线性算λλitλλ
3、−e子，且R(λI−A)=(λI−AR)=I。即λ∈σ()A。λλ因此σ(){A=λλ=1}。证毕。23．设X=l,Ax=Axx(,,Lx,L)=(,xx,Lx,L)，12n23n试求σ()A。n解对任意λ，若λ<1，定义x=(1,,λL,λ,L)，显然λ22nnx∈l,Ax=(,λλ,L,λ,L)=λ(1,,λL,λ,L)=λx，因此{λλ=1}的内点都λλλ是A的点谱，由于σ()A是闭集，则{λλ=1}⊂σ()A。对任意x∈A，显然Ax≤x，因此A≤1，所以σ()A⊂{λλ≤A}⊂{λλ=1
4、}。这样我们就证明了σ(){A=λλ=1}。24．设F是平面上无限有界闭集，{}α是F的一稠密子集，在l中定义算子T：nTx=(,xx,Lx,L)=(αx,Lαx,L)12n11nn则α都是特征值，σ()T=FF,{}α中每个点是T的连续谱。nn证明对任意n，e=(0,0,L,1,0,L)，其中1在第n个坐标上。由题设，Te=αe，nnnn因此α是T的特征值。又由于σ()T是闭集，所以{}α=F⊂σ()T。nn若λ∉F，则d(,)λF>0。定义算子R，若λ2x=(,xx,Lx,L)∈l，12n
5、111Rx=(x,x,L,x,L)λ12nλα−λα−λα−12n1易验证Rx≤x，且R(λIT−)=(λITR−)=I。λλλd(,)λF因此σ()T⊂F。2若λ∈F−{}α，且x=(,xx,Lx,L)∈l，使Tx=λx。则对任意n，λx=αx。n12nnnn由于λ≠α，则x=0，n=1,2,L。这样x=0，因此λ不是特征值，而是连续谱。证nn毕。n5．设λ为线性算子A的特征值，则λ的n次根中至少有一个是算子A的特征值。nn证明设λ是A的特征值，λ的n次根为λλ,,L,λ。存在x≠0，使(A−
6、λIx)=0，12nn则(A−λIx)=(A−λIA)(−λI)L(A−λIx)=0。12n若(A−λIx)=0，则λ就是A的特征值，否则必有某i，11(A−λIA)(−λI)L(A−λIx)≠0，ii−11而(A−λIA)(−λI)L(A−λIx)=0，i+1i1则λ是A的特征值。证毕。i+16．设A为Banach空间X上的有界线性算子，λ∈ρ()A，又设{}A为X上一列有界线0n性算子，且limA−A=0，证明当n充分大后，A也以λ为正则点。nn0n→∞证明λI−A=λI−A−(A−A)0n
7、0n−1=(λI−AI)[−(λI−A)(A−A)]。00n−1−1当n充分大时，(λI−A)(A−A)<1，这样I−(λI−A)(A−A)是可逆的。0n0n此可逆性由本章§2定理1可证，又λI−A也是可逆的。因此当n充分大后，λI−A也00n可逆。证毕。7．设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当λ>A时，∞n−1A1Rλ=(A−λI)=∑n+1，Rλ≤。n=0λλ−An∞A∞n1A证明当λ>A时幂级数∑n收敛，因此级数∑n+1必按算子范数收敛。λn=0λn=0λ∞n∞n∞n∞n+1A
8、AAA(λI−A)∑n+1=∑n+1(λI−A)=∑n−∑n+1=1n=0λn=0λn=0λn=0λ∞n−1A这就证明了(A−λI)=∑n+1，n=0λn∞An∞A1Rλ=∑n+1≤∑n+1=。证毕。n=0λn=0λλ−A8．设A为X上的有界线性算子，λµ,∈ρ()A，则R−R=(µ−λ)RR。λµλµ其中与RR,的意义同第7题。λµ−1−1证明在等式R−R=(µI−A)(−λI−A)两边左乘R右乘R得µλλµR(µ−λ)R=R((µI−A)(−λI−AR))=R−R。λµλµλµ因此R−R=(
