广义逆矩阵及其应用文献综述

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1、文献综述广义逆矩阵及其应用　　　　　一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究

2、线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。1855年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的

3、特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵

4、本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用。矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理仑。计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其求解方程组问题，它显得更为重要。但是，一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，也就是说，当方程组的个数等于未知数的个数时．才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。实际

5、问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。广义逆矩阵的思想可追溯到19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆．而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在192O年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。由于不知其用途，该理论几乎未被注意，这一概念在以后3O年中没有多大发展。我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼和弟子默里在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义

6、逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(PenroseR)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore—Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore—Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。二、主题我们认识一个新的知识，首先从它的概念出发。文献[1]、[2]中

7、给出了Moore—Penros广义逆矩阵的定义。设，若有某个，满足①②③④中的全部或其中的一部分，则称X为A的一个Moore—Penros广义逆矩阵。按照定义，如果X是满足第个条件的广义逆矩阵，就记为，如果X是满足第个条件的广义逆矩阵，就记为。如果G是满足第个条件的广义逆矩阵，就记为，如果G是满足四个条件的广义逆矩阵，就记为。除了是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，