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《课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§9.7 抛物线考纲展示► 考点1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.答案:距离相等 焦点 准线[教材习题改编]动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.答案:y2=4x解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.抛物线的定义:关注应用.过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交
2、于点A,B,则
3、AB
4、=________.答案:16解析:解法一:依题意,过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,将y=x-2代入y2=8x,得x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=4,所以
5、AB
6、=·=×=16.-14-解法二:过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,将y=x-2代入y2=8x,得x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12.由抛物线定义知,
7、AB
8、=x1+x2+4=16.[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.主要有以下几个
9、命题角度:角度一到焦点与定点距离之和最小问题[典题1] [2017·江西赣州模拟]若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使
10、MF
11、+
12、MA
13、取得最小值的点M的坐标为( )A.(0,0)B.C.(1,) D.(2,2)[答案] D[解析] 过点M作左准线的垂线,垂足是N,则
14、MF
15、+
16、MA
17、=
18、MN
19、+
20、MA
21、,当A,M,N三点共线时,
22、MF
23、+
24、MA
25、取得最小值,此时M的坐标为(2,2).角度二到点与准线的距离之和最小问题[典题2] [2017·河北邢台摸底]已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1
26、上,则
27、MA
28、+
29、MF
30、的最小值是________.[答案] 5[解析] 依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有
31、MA
32、+
33、MF
34、=
35、MA
36、+
37、MM1
38、,则
39、MA
40、+
41、MM1
42、的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此
43、MA
44、+
45、MF
46、的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题[典题3] 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.B.2C.D.3[答案] B[解析] 由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设
47、抛物线的焦点为F-14-(1,0),则动点P到l2的距离等于
48、PF
49、,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.角度四焦点弦中距离之和最小问题[典题4] 已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则
50、AC
51、+
52、BD
53、的最小值为________.[答案] 2[解析] 由题意知F(1,0),
54、AC
55、+
56、BD
57、=
58、AF
59、+
60、FB
61、-2=
62、AB
63、-2,即
64、AC
65、+
66、BD
67、取得最小值时当且仅当
68、AB
69、取得最小值.依抛物线定义知,当
70、AB
71、为通径,即
72、AB
73、=2p=
74、4时为最小值,所以
75、AC
76、+
77、BD
78、的最小值为2.[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.考点2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为:________;(2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为:________;(3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为:__
79、______;(4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为:________.答案:(1)y2=2px(p>0) (2)y2=-2px(p>0)(3)x2=2py(p>0) (4)x2=-2py(p>0)2.抛物线的几何性质-14--14-答案:O(0,0) y=0 x=0 1(1)[教材习题改编]若抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是________.答案:-解析:抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,∴-=2,∴a=-.(2)