隐函数的理论与应用文献综述

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1、文献综述隐函数的理论与应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，，.，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程或来确定的，这时我们称由或确定的函数为隐函数.本人通过查阅相关文献来对隐函数做一个论述.下面先来介绍隐函数，隐函数组的基本概念.定义[1]：设,，函数:.对于方程（1）若存在集合与，使得对于任何，恒有惟一确定的，它与一起满足方程（1），则称由方

2、程（1）确定一个定义在上，值域含于的隐函数.定义[2]：设和为定义在区域上的两个三元函数。若存在区间,对于内任意一点,分别有区间和上唯一的一对值,,它们与一起满足方程组（2）；则说方程组(2)确定了两个定义在区间上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组(2)所确定的隐函数组,若分别记这两个函数为,,则在区间上成立恒等式和.隐函数存在性条件[3]：隐函数必须在指出确定它的方程以及，的取值范围后才有意义.在理解了隐函数，隐函数组定义及存在条件的基础上，我们要开始解决隐函数存在定理及推广问题，隐函数组定理，隐函数的求导法则，隐函数的极值问题.本论文的目

3、的是在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，概括出隐函数的求导方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，进而介绍了隐函数的求导方法在几何方面和日常实际中的应用，使我们所学知识加以巩固和提高，起到“温故”而“知新”的作用.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）如果方程能确定与的对应关系，那么称这个方程为隐函数[4].本人通过查阅相关的文献、资料，对隐函数的知识做了总结和归纳，并利用隐函数的知识解决实际问题.隐函数存在惟一性定理[1]若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（i

4、ii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某领域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.隐函数存在定理的推广定理1[5]设在的一个领域内连续，满足1）2）存在正数及，使以下（）、（）两条件至少有一个成立（）（）这里等是关于的导数.那么存在上的连续函数，使.定理2[6]函数是带域上的有界函数，的导数处处存在，且满足，在上可测，则存在，使得.定理3[7]若函数满足下列条件:（1）函数在以为内点的某一区域上连续；（2）；（3）在内存在关于的直到阶的连续偏导数,且;（4）.则当为偶数时,在点的某领域内,方程惟一地确定了一个定

5、义在某区间内的函数(隐函数),使得（1）时且；（2）在内连续;注:当为奇数时,无法判断隐函数的存在性,也无法判断惟一性.隐函数组定理[8]设方程组（3），若（3）中的与满足：（i）在上连续，；（ii）；（iii）在内存在一阶连续偏导数；（iv），则、使，，即有，，满足及，；、在内连续；、在内存在一阶连续偏导数，且隐函数求导的方法[9]1、显化法把隐函数化为显函数后，再利用显函数求导数的方法来求隐函数的导数.此种方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用.例：方程确定了是的函数，求对的导数.解：原

6、方程化为，所以.但是，不是所有的隐函数都能化为显函数，例如：方程：就不能用显化法.2、公式法利用公式：来求隐函数的导数的方法[10].这种方法要求先把确定隐函数的方程写成的形式，再对的两边同时分别对求导数，然后再利用该公式求出.而且在对的两边同时分别求导数时，需要先后把看作常数(其实是根据为的独立变量)这对初学者来说不容易分辨.而且此方法的计算量较大.例：方程：确定了是的函数，求对的导数.解：令（*）对（*）式两边同时对的导数，得：对（*）式两边同时对的导数，得：再由公式.注：由上面的计算过程我们可以看出：第一，本题计算较为复杂；第二，在对求对的导数时，将看作

7、常数，在对求对的导数时，将看作常数.3、微商法利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关系（对的导数即为的微分与的微分的商）求出隐函数的导数的方法.此种方法与公式法有着同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把看作独立变量，而且该方法比公式法的计算过程更复杂一些.例：方程：确定了是的函数，求对的导数.解：对上方程的两边同时求微分，得.4.参数法引入参数把隐函数转换成由参数方程所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数时，步骤较为复杂，因此一般很少使

8、用.例：方程确定了是的函数，求对的导数