考研数学资料第一章函数、极限与连续

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1、第一章函数极限连续微积分研究的对象是函数，函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数及函数记号的运算.极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分等实质上是各种类型的极限，既耍准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，乂要能准确地求出各种极限，求极限的方法主要有：①利用极限的四则运算幕指数运算法则；②利用洛必达法则；③利用函数的连续性；④利用变量替换与两个重要极限（利用几个重要的等价无穷小因子替换求极限）；⑤数列极限转化为函数极限；⑥利用夹逼定理；⑦利用递推数列先证明再求出极限；⑧利用导

2、数的定义求极限.函数的连续性是通过极限定义的,判断函数的连续性及函数间断点的类型等问题在本质上极是求极限，所以连续仍是本章的重点.要求掌握判断函数连续性及求间断点的方法，特别是分段函数在连接点处的连续性，会判别函数间断点的类型.函数的许多重要性质都与连续性冇关，要求学握冇界闭区间上连续函数的性质及应用.一、知识网络图”定义（特点）性质（周期性,冇界性，奇偶性）函数〈基本初等函数（定义，性质，图形）反函数复合函数（复合函数的分解）limf（x）XT.E函数极限（£-5定义）lim/（x）XT±8左、右极限极限存在

3、充要条件性质单调性夹逼定理『定义极限“无穷小（大）量＜阶的分类”高阶无穷小等价无穷小同阶无穷小k阶无穷小单调、冇界数列夹逼定理求极限的方法利用极限运算法则及函数的连续性两个重要极限无穷小量乘有界变量limAy=0山TO函数在点观处连续的定义lim/(x)=/(x0)XT.q)0£>0,»>0,当卜一兀o

4、v两寸，有

5、/(x)-/(x0)

6、

7、致连续性定理二、典型错误分析…,,sinx,x<0t例1・设分段函数/(%)=.，求/(1-x),/(x-1).兀“+Inx,兀>0［错解］/(I-x)=sin(l-x),x<0(1-x)2+ln(l-x),x>0sin(x-l),x<0(x-1)2+ln(x-l),x>0［错因分析］忽视了改变自变量形式的同时，要相应地考虑定义域的变化这个关键八、、•［正确解］/(1一兀)=sin(l-x),l-x<0(1—x)2+ln(l—x),1—x>0即/(!-%)=sin(l-x),x>1(1-x)2+ln(l-x)

8、,xv1_fsin(x-l),x<1类似地心叫(7+吨7,小例2•证明lim'4n=1.n—>4-oo［错证］Vw>0,要使诉V1+£,则应有丄Inn上一，ln(l+E)故取/V=———，则当n>N时，恒有ln(l+£)1-£vr-/~nv1+£,即limy/~n=1.z

9、_>4-00［分析］出丄吐◎nInnln(l+£)In2(n>2),推出是止确的.ln(l+£)ln(l+£)而错在由斤〉而取N=［丄^］这一步上.ln(I+£)［

10、_ln(l+£)事实上，这样得到的N,当n>N时并不能保证一——70,lnl.01_贝iJ^70-l=0.06>0.01=^.［正确证明］令y［n-l=hn9则n=(1+九)"=1+nhH+川尤+…+/?；；>n(，1~V)尤⑺>2)・注意到，当”>2吋,“一1>?丁"是n>—h：或hn<了=,也就是師-1v故对Vf>0,取N二当n>N时，便有72他<<£,所以lim诉=1.>+co例3・求lim(cosJ无+1-cosJ

11、7).XT+8

12、错解Ilim(cosJx+1一cosVx)=limcosJ兀+1—limcosVx,入T+ooXT+8XT+4_oo.Jx+1—y[x•sin［错因分析］极限的运算法则是在参与运算的两个函数极限都存在的条件下适用的,木题错在误解了极限的运算法则.[止确解]由于cosVx+1-cos4x=-2sin当兀T+oo时,•y[x+1+sin<12而05sinsin12』兀+1+y[xXln(l+x)=limXTO1+COSX..

13、(sinx•lim.1+xsin—兀丿•lim入t0ln(l+x)故limsinJZZI__世=o，丁•是原式等于零.XTZ2•9•丄smx+jrsin例4・求lim..go（1+cosx）ln（l+x）［错解］利用洛必达法则，注意到极限limcos-不存在，故2°无cosx+2兀sin——cos—原式RimJ—J的极限也不存在.XT0•1+COSX-sinxln（l+x）+1+xI错