第一章 函数、极限与连续

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1、第一章函数、极限与连续第一节　函数第二节　数列极其极限第三节　函数的极限第四节　无穷小与无穷大第五节　极限的运算法则第六节　两个重要的极限第七节　无穷小的比较第八节　初等函数的连续性与间断性第九节　初等函数的连续性第十节无穷级数简介第一节函数１.函数的定义一、函数的概念通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.2.函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,

2、要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集例1求下列函数的定义域3.函数与函数值的记号4.函数的表示方法表示函数的方法,最常用的有以下三种:1-1在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应取值范围的表示进行计算.1.函数的奇偶性二、函数的几种特性2.函数的单调性上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.单调增加(或单调减少)函数的图形沿轴的正向

3、上升(或下降).证3.函数的周期性4.函数有界性上述定义也适用于闭区间和无穷区间.三、复合函数例5指出下列复合函数的复合过程解四、反函数解定义4由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.五、初等函数例7用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.解六、建立函数关系举例解从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它

4、们；然后把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系，找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。思考题1.判断两个函数是否相同的关键是什么？答案2.有界函数的界是否唯一？答案3.思考复合函数的定义，在什么情况下复合函数将失去意义？答案课堂练习题答案答案第二节数列及极限一、数列的极限例1观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限-3-3-3-302-114321n由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：通过以上例题，可以推得以下结论：数列极限

5、四则运算法则：二、数列极限的四则运算解例3求下列各极限.解三、无穷递递缩等比数列的求和公式这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.解(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.四、数列极限的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的极限一、先看下面的例子.二、例3观察并写出下列函数的极限:解1-191-20图1-19例3（1）示意图图1-19例3（1）示意图三、左极限与右极限解解四、函数的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节、无穷小与穷大1.

6、无穷小的定义在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.一、无穷小与无穷大的定义及其关系应当注意以下几点:2.无穷大的定义与无穷小相仿,应当注意以下几点:3.无穷小与无穷大的关系解例2以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?解例3讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?解1.无穷小与函数极限之间的关系2.无穷小的性质及推论性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小.推论1常数与无穷小的乘积仍为无穷小性质3有限个无穷小的乘积仍为无穷小.推论2无穷小的正整数次

7、幂仍为无穷小.二、无穷小的性质解解思考题1.很小的数是否就是无穷小量？为什么？答案2.“无穷大的倒数就是无穷小，无穷小的倒数就是无穷大”这一命题是否正确？答案3.两个无穷小的商是否一定为无穷小？举例说明.答案课堂练习题答案答案第五节极限的运算法则解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第六节两个重要的极限一、证解解解解解二、解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节无穷小的比较已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？表13-3三个无穷小趋向零的快慢程度0.10.0

8、10.0010.20.020.0020.010.00010.000001解解同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价