第一章 函数、极限与连续

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1、第一章函数、极限与连续§1.1、函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解一、函数概念1、定义设有变量和数集，若对任一，按一定法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的（单值）函数，记为。①以上定义的仅仅是单值函数，即：“每个”。例如在表达式及中，均非的函数。②函数完全同定义域和函数关系这两要素确定。例如对于下列两对函数前一对函数不相同，而后一对相同。2、分段函数例1、例2、设，求的定义域及

2、，并做的图形。解：，注：分段函数是一个而不是几个函数。二、函数的几种性质1、有界性有界性有下列两种等价定义：定义1：若有，使，则称在上有界。定义2：若有、，使,则称在上有界，26和分别称为在上的一个下界和上界。例如，。2、单调性定义：设、为区间上任两点，若当时，有，则称在区间上单调增加（减少）。注：这里定义的是严格单调性。3、奇偶性定义：对任一，若，则称为奇（偶）函数。例3、判断①②的奇偶性。解：①非奇非偶（定义域不对称）。②奇函数①奇（偶）函数的图形关于原点（轴）对称。②按奇偶性分类，函数可分

3、为4、周期性定义：若有，使，则称为周期函数，称为周期，通常指最小正周期。三、反函数定义：对，给定，若总有唯一的与之对应，则也是的函数，称为的反函数，记为或，①单调函数必有反函数，且其反函数也单调。②函数与其反函数的图形关于对称。2626§1.2、初等函数一、基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数5、反三角函数注：等不是初等函数。二、复合函数与初等函数1、若的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，且（全部或部分），则通过中间变量，也是的函数，称为复合函数，记为。例如，可复合成，

4、而不能复合。2、由基本初等函数和常数经有限次四则运算和有限次复合而成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。一般地，分段函数不是初等函数。（是）三、双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切反双曲正弦反双曲余弦26反双曲正切例4、判断的奇偶性，并作的图形。解：，即为奇函数。26§1.3、数列的极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解预备知识①点的邻域②点的去心邻域③取整函数——不

5、超过的最大整数。例如，一、数列极限的定义1、引例：考察数列时的极限。任给正数（无论它多么小），总可找到一个正整数，使得从第项起以后的所有项，均满足，即，此时可取。例如，2、定义：若对任意给定的正数，总存在正整数，使得对满足的所有，不等式均成立，则称为数列的极限或称数列收敛于，记为或，否则称数列26无极限或发散。简记为：“”①②③关键点：的存在性。④出发点：不等式3、定义的几何解释记，则定义可表述为“”即“邻域外最多只有个点”例1、证明证：第一步：由确定。第二步：完整地写出定义的四句话。对任意，只

6、要取，则当时，就有成立，故例2、证明证：对任意，存在，当时，，故二、收敛数列的性质定理1：收敛数列的极限是唯一的。证：设26根据极限定义，对任意，存在，当时，，即，取，则其变为，显然若取，则当时，上述两不等式同时成立，矛盾，故得证。定理2：收敛的数列有界，即收敛有界。证：设，由极限定义对任意，存在，当时，从而令，则对任意，均有，即数列有界。注：有界的数列不一定收敛，即有界收敛，例如。定义：在数列中任意抽取无限多项并保持其先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列。例如数列有两个子数列和。定理

7、3、数列收敛于数列的任一子数列均收敛于。推论：若数列的两个子数列收敛于不同的极限，则数列发散。例如，对，，故数列发散。26§1.4、函数的极限一、（有限值）时的极限1、引例：考察当时的极限。如图，当时，事实上，当任意小时，也任意地小。2、（）定义：设在的某一去心邻域内有定义，若对任意，存在，当时，不等式，则称为当时的极限，记为或。注：当时，有无极限、极限为何值与在处有无定义、定义值为何值无关。例1、证明证：第一步：由推出（求）第二步：写出定义中的四句话。对任意，只要取，则当时，就有故例2、证明证

8、：26对任意，只要取，则当时，就有故3、函数极限的二条性质定理1、（局部保号性）若，且，则存在的某一去心邻域，在其内。定理2、（极限保号性）若在的某一去心邻域内，且，则。4、左右极限定义：若当从左边趋于时，，则称为当时的左极限，记为或，同理可定义右极限、。定理：当时的极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即推论：若左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等，则极限不存在。例3、求解：，故极限不存在。二、（无限值）时的极限定义：对任意，存在，当时，有，则。26例4、证明：①；②证：①对任意，存在，