2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、2.2.2　双曲线的几何性质学习目标　1.掌握双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一　双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)特别提醒：(1)已知双曲线方程

2、为－＝1(a>0，b>0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得－＝0⇒y＝±x，这样便于记忆．(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．知识点二　等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.1．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)2．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　√　)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)5．双曲线

3、有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)题型一　由双曲线方程研究其几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、

4、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚

5、半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.题型二　由双曲线的几何性质求标准方程例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.考

6、点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的几何性质求方程解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝

7、1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质

8、求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位