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《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质课堂导学案新人教b版选修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x2-9y2=-144化为标准方程=1.因此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3;c==5,焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e=;顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为y=±x.温馨提示双曲线=1(a＞0,b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线=1的渐近线为x=±y，即y=±x,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.二、双曲线的离心率【例2】双曲线=1(a＞1,b
2、＞0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.解：直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a＞1,得到点(1，0)到直线l的距离d1=.同理得到点(-1，0)到直线l的距离：d2=,s=d1+d2=.由s≥c,得即5a≥2c2.于是得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于e＞1＞0,所以e的取值范围是≤e≤.温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离
3、公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由消去y，得(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即-＜a＜且a≠±3.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0.但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④，x1+x2=,x1x
4、2=.∴(a2+1)·+a·+1=0.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a，使A、B关于y=x对称，则直线y=ax+1与y=x垂直，∴a·=-1，即a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=4.∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2，-3)不在直线y=x上,即不存在实数a，使A、B关于直线y=x对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x±3y=0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.解：(1)设所求双曲线方程为4x2
5、-9y2=λ,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得λ=-32,∴所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,即(2)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,则另一条渐近线方程为y+x=0.设所求双曲线方程为3x2-y2=λ(λ＞0),则a2=,b2=λ.∴c2=a2+b2==4,即λ=3,故所求的双曲线方程为x2-=1.变式提升1设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF1｜=3，则｜PF2｜=( )A.1或5B.6C.7D.9解：由双
6、曲线方程,得b=3.∵渐近线方程为y=±x,已知其渐近线方程为3x-2y=0,即y=x ∴ ∴a=2.由双曲线定义｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=2a ∵｜PF1｜=3∴｜PF2｜=7或｜PF2｜=-1(舍)∴｜PF2｜=7，故正确答案为C.类题演练2已知双曲线=1(a＞2)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.解析：双曲线=1(a＞).∴渐近线斜率分别为k1=,k2=-.∴tan∴t2+2t-=0.解之，得t=或-3(舍去).∴a=.∴e=答案：D变式提升2已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲
7、线的右支上，且｜PF1｜=4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e的最大值为( )A.B.C.2D.解：由双曲线的第二定义可得｜PF1｜=e(x0+)=ex0+a,｜PF2｜=e(x0-)=ex0-a ∵｜PF1｜=4｜PF2｜ ∴ex0+a=4(ex0-a)解得e= ∵x0≥a＞0 ∴当且仅当x0=a时，e取最大值.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点(4，-).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.(1)解：由双曲线的离心率为，即=2,∴a=b,即双曲线为等轴双
8、曲线.可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，-).则42-(
