2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 微专题突破三 焦点弦的性质学案（含解析）新人教B版选修1 -1

《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 微专题突破三 焦点弦的性质学案（含解析）新人教B版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题突破三　焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则

2、AF

3、＝，

4、BF

5、＝；(3)

6、AB

7、＝x1＋x2＋p＝(其中θ为

8、直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题证明　(1)①当AB⊥x轴时，不妨设A，B，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程y2＝2px，消元得y2＝2p，即y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，由抛物线

9、定义知

10、AF

11、＝

12、AA1

13、，在Rt△AFG中，

14、FG

15、＝

16、AF

17、cosθ，由图知

18、GG1

19、＝

20、AA1

21、，则p＋

22、AF

23、cosθ＝

24、AF

25、，得

26、AF

27、＝，同理得

28、BF

29、＝；当θ＝90°时，可知

30、AF

31、＝

32、BF

33、＝p，对于

34、AF

35、＝，

36、BF

37、＝亦成立，∴

38、AF

39、＝，

40、BF

41、＝.(3)

42、AB

43、＝

44、AF

45、＋

46、BF

47、＝x1＋x2＋p＝＋＝≥2p，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径长2p为最短的焦点弦长．(4)由(2)可得，＋＝＋＝.(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，故满足S△OAB＝；当θ≠90°时，设直线AB：y

48、＝tanθ，原点O到直线AB的距离d＝＝sinθ，S△OAB＝

49、AB

50、＝sinθ×＝.(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，则

51、MM1

52、＝＝＝，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．二、焦点弦性质的应用例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　D解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为y＝，代入抛物线的方程可得4y2－12y－

53、9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，故所求三角形的面积为××＝.方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则

54、AB

55、＋

56、DE

57、的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且

58、不为0.不妨设直线l1的斜率为k，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，

59、AB

60、＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得

61、DE

62、＝4＋4k2，∴

63、AB

64、＋

65、DE

66、＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故

67、AB

68、＋

69、DE

70、的最小值为16.方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，因此

71、AB

72、＋

73、DE

74、＝＋＝＋＝＝≥16.点评　上述两

75、道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练1　(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若

76、AF

77、＝3，则△AOB的面积为(　　)A.B.C.D．2考点　题点　答案　C解析　方法一　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

78、AF

79、＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴取A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率k＝＝2，∴直线AB的方程为y＝2(

80、x－1)，即2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝，∴

81、BF

82、＝x2＋1＝，∴

83、AB

84、＝3＋＝，∴S△AOB＝

85、AB

86、·d＝××＝.方法二　设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，

87、AF

88、＝＝＝3，∴cosθ＝，S△AOB＝＝＝.(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，