2020届高考数学总复习课时跟踪练（六十八）不等式证明的基本方法文（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(六十八)A组　基础巩固1．已知n≥2，求证：>－.证明：要证>－，只需证明>，也就是证>，只需证＋>，只需证>0，只需证n>1，因为n≥2>1，所以>－.2．设函数f(x)＝x＋－1(x>0)的最小值为M，正数a，b满足＋＝Mab.(1)求M的值；(2)是否存在正数a，b，使得a6＋b6＝？并说明理由．解：(1)f(x)＝x＋－1≥2－1＝3(当且仅当x＝2时，取等号)．所以f(x)的最小值M＝3.(2)不存在，理由如下：假设存在正数a，b，使得a6＋b6＝，则a6＋b6＝≥2＝2a3b3，所以ab≤.因为＋＝Mab＝3ab≥2，所以ab≥，与ab

2、≤矛盾，所以不存在a，b满足题意．3．设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，所以ab－1＝0，即ab＝1.4．(2019·广东中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋

3、3－x

4、，x≥－1.(1)求不等式f

5、(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.(1)解：根据题意，若f(x)≤6，则有或解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x

6、－1≤x≤4}．(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋

7、3－x

8、＝分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，所以2a＋b＝(2a＋b)＝≥＝，原不等式得证．5．已知函数f(x)＝

9、x－1

10、.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若

11、a

12、<1，

13、b

14、<1，且a≠0，求证：f(ab)>

15、a

16、f.(1)解：f(x)＋f(x＋4)＝

17、x－1

18、

19、＋

20、x＋3

21、＝当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，4≥8不成立；当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.所以，不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x

22、x≤－5或x≥3}．(2)证明：要证f(ab)>

23、a

24、f，即证

25、ab－1

26、>

27、a－b

28、.因为

29、a

30、<1，

31、b

32、<1，所以

33、ab－1

34、2－

35、a－b

36、2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2＋b2－2ab)＝a2b2－(a2＋b2)＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.所以

37、ab－1

38、>

39、a－b

40、，故原不等式f(ab)>

41、a

42、f成立．B组　素养提升6．(2019·晋中模拟)已知函数f(x

43、)＝

44、x＋1

45、.(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.(1)解：由已知f(x－2)－f(x－3)＝

46、x－1

47、－

48、x－2

49、＝则－1≤

50、x－1

51、－

52、x－2

53、≤1，由于∃x0∈R，使不等式

54、x0－1

55、－

56、x0－2

57、≥u成立，所以u≤1，即M＝{u

58、u≤1}．(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，则

59、a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．7．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是

60、a－b

61、<

62、c－d

63、的充要条件．证明：(1)因为a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，只需证明＞，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此＋＞＋.(2)①若

64、a－b

65、<

66、c

67、－d

68、，则(a－b)2<(c－d)2，所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.又a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，所以a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

69、a－b

70、<

71、c－d

72、.综上，＋>＋是

73、a－b

74、<

75、c－d

76、的充要条件．8．(2019·百发联盟TOP20联考)已知函数f(x)＝

77、2x－3

78、＋

79、2x－1

80、的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2

81、m＋n

82、≤

83、4＋mn

84、；(2)若a，b∈

85、(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小