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《2020届高考数学课时跟踪练（八十一）不等式证明的基本方法理（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪练(八十一)A组 基础巩固1．已知n≥2，求证：>－.证明：要证>－，只需证明>，也就是证>，只需证＋>，只需证>0，只需证n>1，因为n≥2>1，所以>－.2．设函数f(x)＝x＋－1(x>0)的最小值为M，正数a，b满足＋＝Mab.(1)求M的值；(2)是否存在正数a，b，使得a6＋b6＝？并说明理由．解：(1)f(x)＝x＋－1≥2－1＝3(当且仅当x＝2时，取等号)．所以f(x)的最小值M＝3.(2)不存在，理由如下：假设存在正数a，b，使得a6＋b6＝，则a6＋b6＝≥2＝2a
2、3b3，所以ab≤.因为＋＝Mab＝3ab≥2，所以ab≥，与ab≤矛盾，所以不存在a，b满足题意．3．设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)
3、2≤0，所以ab－1＝0，即ab＝1.4．(2019·中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋
4、3－x
5、，x≥－1.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.(1)解：根据题意，若f(x)≤6，则有或解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x
6、－1≤x≤4}．(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋
7、3－x
8、＝分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，所以2a＋b＝(2a＋b)＝≥＝，原不等式
9、得证．5．已知函数f(x)＝
10、x－1
11、.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若
12、a
13、<1，
14、b
15、<1，且a≠0，求证：f(ab)>
16、a
17、f.(1)解：f(x)＋f(x＋4)＝
18、x－1
19、＋
20、x＋3
21、＝当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，4≥8不成立；当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.所以，不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x
22、x≤－5或x≥3}．(2)证明：要证f(ab)>
23、a
24、f，即证
25、ab－1
26、>
27、a－b
28、.因为
29、a
30、<1，
31、b
32、<1，所以
33、
34、ab－1
35、2－
36、a－b
37、2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2＋b2－2ab)＝a2b2－(a2＋b2)＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.所以
38、ab－1
39、>
40、a－b
41、，故原不等式f(ab)>
42、a
43、f成立．B组 素养提升6．(2019·晋中模拟)已知函数f(x)＝
44、x＋1
45、.(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.(1)解：
46、由已知f(x－2)－f(x－3)＝
47、x－1
48、－
49、x－2
50、＝则－1≤
51、x－1
52、－
53、x－2
54、≤1，由于∃x0∈R，使不等式
55、x0－1
56、－
57、x0－2
58、≥u成立，所以u≤1，即M＝{u
59、u≤1}．(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，则ab
60、c≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．7．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是
61、a－b
62、<
63、c－d
64、的充要条件．证明：(1)因为a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，只需证明＞，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此＋＞＋.(2)①若
65、a－b
66、<
67、c－d
68、，则(a－b)2<(c－d)2，所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.又a＋b＝c＋d，所以
69、ab＞cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，所以a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此
70、a－b
71、<
72、c－d
73、.综上，＋>＋是
74、a－b
75、<
76、c－d
77、的充要条件．8．(2019·百校联盟TOP20联考)已知函数f(x)＝
78、2x－3
79、＋
80、2x－1
81、的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2
82、m＋n
83、≤
84、4＋mn
85、；(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．
