江苏专用高考数学复习平面解析几何第78练高考大题突破练_圆锥曲线中的定点定值问题文含解析

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1、第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2).(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值.2.已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S为椭圆C上位于x轴上方的动点，

2、直线AS，BS与直线l：x＝分别交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；(3)求线段MN的长度的最小值.3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，过点A(0,1)的动直线l与椭圆C交于M，N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM＝∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.[能力提升练]4.已知椭圆C：＋＝1过点A，右顶点为点B.(1)若直线l：y＝kx＋m与椭

3、圆C相交于M，N两点(M，N不是左、右顶点)，且BM⊥BN，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；(2)E，F是椭圆C的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由.答案精析基础保分练1.(1)解　设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px，得y2－2mpy－2p2＝0，y1,2＝，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明　设B(x3，y3)，N(x4，y4).由(1)可知，y3y4＝－2p2，

4、同理可得，y1y3＝－p2.又直线AB的斜率kAB＝＝，直线MN的斜率kMN＝＝，∴＝＝＝＝2.故直线AB与直线MN的斜率之比为定值.2.(1)解　由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，∴a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　设S(x0，y0)，则＋y＝1，∴y＝1－，故kSA·kSB＝·＝＝－.(3)解　直线AS的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M，联立得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，设S(x1，y1)，则(

5、－2)·x1＝，得x1＝，从而y1＝，即S，则kSB＝－，直线SB的方程为y＝－(x－2)，又B(2,0)，由得∴N，故MN＝.又k>0，∴MN＝＋≥2＝.当且仅当＝，即k＝时等号成立，∴当k＝时，线段MN的长度取最小值.3.解　(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，可得＋＝1，又设左焦点为(－c,0)，有＝，即c＝，a2－b2＝2，解得a＝2，b＝，则椭圆方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，有AM＝AN，若使∠ABM＝∠ABN，则点B在y轴上不同于A点时均成立.故存在与A不同的定点B使得∠A

6、BM＝∠ABN恒成立，点B一定在y轴上，所以设B(0，y0).当直线MN的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，x1,2＝，∴x1＋x2＝，x1x2＝.若∠ABM＝∠ABN，则kBM＋kBN＝0，即kBM＋kBN＝＋＝＋＝2k＋(1－y0)·＝2k(2－y0).∵k∈R，∴当y0＝2时，∠ABM＝∠ABN，∴B(0,2).当直线MN的斜率不存在时，B(0,2)满足∠ABM＝∠ABN，∴存在不同于点A的定点B(0,2)，使得∠A

7、BM＝∠ABN恒成立.能力提升练4.解　(1)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点B的坐标为(2,0)，因为BM⊥BN，则·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入整理得(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，(*)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，当Δ>0时，x1,2＝，则有x1＋x2＝，x1x2＝，代入(*)得7m2＋16mk＋4k2＝0，所以m＝－k或m＝－2k，当m＝－2k时，直线方程为y＝kx－2

8、k，恒过点B(2,0)，不符合题意，舍去；当m＝－k时，直线方程为y＝kx－k，恒过点，该点在椭圆内，此时Δ>0恒成立，所以，直线l过定点.(2)设点E，F的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，直线AE，AF，EF的斜率显然存在，所以x3≠1，x4≠1，x3≠x4，设直线EF的方程为y＝kx＋m，同(1)，由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，(*)当Δ>0时，x3