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《2017_18版高中数学第3章3.2.2空间线面关系的判定一平行关系学案苏教版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．2.2 空间线面关系的判定(一)平行关系[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.2.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系．知识点 空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行
2、设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．思考 1．用向量法如何证明线面平行？答案 证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．2．直线l的方向向量是惟一的吗？答案 不惟一．题型一 证明线线平行问题例1 已知直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．证明：l1∥l2.证明 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2.反思与感悟 两直线的方向向量共线
3、时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练1 已知在四面体ABCD中，G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________．6答案 平行解析 设E、F分别为BC和CD的中点，则＝＋＝(＋)＝，所以GH∥EF，所以GH∥BD.题型二 证明线面平行问题例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.方法一 连结AC，交BD于点G，连结EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0
4、，，)．因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，则有即即令y＝－1，则所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.方法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，6即(a,0，－a)＝λ(0，，)＋μ(a，，－)，则有解得所以＝－＋，所以PA∥平面BDE
5、.反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定＝λ＋μ中λ和μ是否存在的问题．跟踪训练2 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,
6、0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝1，解得x＝y＝，∴n＝(，，1)．设点G的坐标为(0,0，m)，又E(，0,0)，则＝(－，0，m)．要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即(－)×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．6题型三 证明平面和平面平行问题例3 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．解 如图，
7、建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG，平面HMN的法向量，由得令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．由得令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．∴m＝n，故m∥n，即平面EFG∥平面HM
