2017_18学年高中数学第二章概率6正态分布教学案北师大版选修

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1、*§6正态分布1．正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称．(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.1．正态分布完全由参数μ

2、和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．正态曲线及性质[例1]　设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．[思路点拨]　首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．7[精解详析]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤

3、1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝(1－0.954)＝0.023.[一点通]　对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知，(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．1．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X＞4)＝(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝.答案：D2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式

4、，并求出总体随机变量的期望和方差．解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为7f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.正态分布在实际生活中的应用[例2]　(8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？[思路点拨]　―→―→―→[精解详析]　∵X～N(90,100)，∴μ＝9

5、0，σ＝＝10.(2分)(1)P(70

6、值X服从正态分布N(1000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为(　　)A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂解析：∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，7∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)．∴甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂．答案：C4．(湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,50

7、2)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.)解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700