2017_18学年高中数学第一章坐标系1学案北师大版选修

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1、§1平面直角坐标系[对应学生用书P1]1．平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)

2、＝0的曲线．(3)一些常见曲线的方程：①直线的方程：ax＋by＋c＝0；②圆的方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆方程为＋＝1；④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线方程为－＝1；⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为的抛物线方程为y2＝2px.2．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y

3、轴的单位长度，将会对图形产生影响．1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；13③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．[对应学生用书P1]平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用[例1]　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上

4、，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程．(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且

5、PA

6、2＝

7、PB

8、2＋

9、PC

10、2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[思路点拨]　本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[精解详析]　(1

11、)由已知设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝＝，故c＝3.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又

12、BC

13、＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，)；∵

14、PA

15、2＝

16、PB

17、2＋

18、PC

19、2，∴x2＋(y－)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2.化简得x2＋(y＋)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为

20、x2＋(y＋)2＝4(y>0)．13其曲线如上图所示为以(0，－)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤．1．求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a．建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；b．写出适合条件P的点M的集合P＝{M

21、P(M)}；c．用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；d．化简方程f(x，y)

22、＝0；e．检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略．②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．③代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．④参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．2．根据曲线的方程画曲线时，关键

23、根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．1．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD13的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，

24、BD

25、＋

26、CE

27、＝30，可知

28、GB

29、＋

30、GC

31、＝(

32、BD

33、＋

34、CE

35、)＝20，∴重心G的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦