2017_18学年高中数学第一章直线多边形圆2.3弦切角定理学案北师大版选修

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1、2．3　弦切角定理[对应学生用书P19]1．弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．弦切角的三要素是什么？提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．[对应学生用书P20]弦切角的计算[例1]　如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，求∠C.[思路点拨]　本题主要考查弦切角定义及定理的应用．解此题时，需连接BD，创设弦切角∠CDB，然后求∠C.[精解详

2、析]　连接BD.∵AB为直径，则∠BDA＝90°.又CD为⊙O的切线，切点为D，∴∠BDC为弦切角．∴∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝40°.10利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素．确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角．1.如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为(　　)A．20°　　　　　　　　B．40°C．60°　　　　　　　　D．80°解析：选D　如图，作四边形ABE

3、T，因为四边形ABET是圆内接四边形，所以∠E＝180°－∠A＝80°，又CD是⊙O的切线，T为切点，所以∠BTD＝∠E＝80°.弦切角定理的应用[例2]　如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q.求证：PQ2＝AC·BD.[思路点拨]　本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接PA、PB证明△ACP∽△PQB，△BDP∽△PQA后可证PQ2＝AC·BD.[精解详析]　连接PA，PB，如图所示．∵CD切⊙O于P，∴∠1＝∠2.∵AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q，∴∠ACP＝∠PQB＝9

4、0°.∴△ACP∽△PQB.∴AC∶PQ＝PA∶BP.同理，△BDP∽△PQA，∴PQ∶BD＝PA∶BP.∴AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ2＝AC·BD.利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系．102．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.求证：RP＝RQ.证明：作直径BC，连接CQ，因为BC是⊙O的直径，所以∠B＋∠C＝90°，因为OA⊥OB，所以∠B＋∠BPO＝90°.所以∠C＝∠BPO.又∠BPO＝

5、∠RPQ，所以∠C＝∠RPQ.又因为RQ为⊙O的切线，所以∠PQR＝∠C.所以∠PQR＝∠RPQ.所以RP＝RQ.[例3]　如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．[思路点拨]　本题考查利用弦切角定理进行计算问题．解此题时，连接BE，AC，OC.可知△AEB为直角三角形，利用角的关系确定∠EBA＝30°可求AE.[精解详析]　连接OC，BE，AC，则BE⊥AE.∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形，∴∠CB

6、O＝∠COB＝60°.又直线l切⊙O于C，∴∠DCA＝∠CBO＝60°，∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，10而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°.在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角．3.如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2＝CE·CF.证明：连接CA，CB.因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠CAP＝∠CB

7、A，∠CBP＝∠CAB.又因为CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，所以Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，所以＝，＝，所以＝，即CD2＝CE·CF.本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等．[考题印证]如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：10(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.[命题立意]本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质．[自主尝试]　(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠AC

8、B＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，AC＝AE.[对应学生用书P21]一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，