高中数学典型例题解析导数及其应用

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1、.三、经典例题导讲[例1]已知,则.错因:复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解:设,,则.[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导?错解:。分析:分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导.解:      ∴f(x)在x=1处不可导.注:,指逐渐减小趋近于0;,指逐渐增大趋近于0。点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即,△x→0,包括△x→0+,与△x→0-,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相

2、等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.[例3]求在点和处的切线方程。错因:直接将,看作曲线上的点用导数求解。分析:点在函数的曲线上,因此过点的切线的斜率就是在处的函数值;点不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.解:即过点的切线的斜率为4,故切线为:.设过点的切线的切点为,则切线的斜率为,又,..故,。即切线的斜率为4或12,从而过点的切线为:点评:要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.[例4]求证:函数图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程

3、.分析:由导数的几何意义知,要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.解:(1),即对函数定义域内的任一,其导数值都小于,于是由导数的几何意义可知,函数图象上各点处切线的斜率都小于1.(2)令,得,当时,;当时,,曲线的斜率为0的切线有两条,其切点分别为与,切线方程分别为或。点评:在已知曲线切线斜率为的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐标就是的导数值为时的解,即方程的解,将方程的解代入就可得切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是

4、方程有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条.[例5]已知,函数,,设,记曲线在点处的切线为.(1)求的方程;(2)设与轴交点为,求证: ①;     ②若,则分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程.解:(1)切线的方程为即...(2)①依题意,切线方程中令y=0得,②由①知,[例6]求抛物线上的点到直线的最短距离.分析:可设为抛物线上任意一点,则可把点到直线的距离表示为自变量的函数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.解:根据题意可知,

5、与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(),那么,∴∴切点坐标为,切点到直线x-y-2=0的距离,∴抛物线上的点到直线的最短距离为.三、经典例题导讲[例1]已知曲线及点,求过点的曲线的切线方程.错解:,过点的切线斜率,过点的曲线的切线方程为.错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点凑巧在曲线上,求过点的切线方程,却并非说切点就是点,上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程,认识不到位,发生了混淆.正解:设过点的

6、切线与曲线切于点,则过点的曲线的切线斜率[例2]已知函数在上是减函数,求的取值范围.错解:在上是减函数,在上恒成立,..对一切恒成立,,即,.正解:,在上是减函数,在上恒成立,且,即且,.[例3]当,证明不等式.证明:,,则,当时。在内是增函数,,即,又,当时,,在内是减函数,,即,因此,当时,不等式成立.点评:由题意构造出两个函数,.利用导数求函数的单调区间,从而导出及是解决本题的关键.[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由

7、车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解:设BD之间的距离为km,则

8、AD

9、=,

10、CD

11、=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省

12、.点评:这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对

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