万能解题模型1　相似三角形的常见基本模型（精选中考真题）

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1、万能解题模型1　相似三角形的常见基本模型模型1　X字型及其变形1．（2019·巴中）如图，▱ABCD，F为BC的中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG＝（D）A．2∶3B．3∶2C．9∶4D．4∶92．（2018·巴中）如图所示，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠

2、BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴＝，即＝.∴DF＝4.5/5模型2　A字型及其变形4．（2019·哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（D）A.＝B.＝C.＝D.＝5．（2019·贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B.若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（C）A．2B．3C．2D．56．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接

3、BC.求证：（1）∠BAC＝∠CBP；（2）PB2＝PC·PA.证明：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB＝∠ABP＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBP＝90°.∴∠BAC＝∠CBP.（2）∵∠PCB＝∠ABP＝90°，∠P＝∠P，5/5∴△ABP∽△BCP.∴＝.∴PB2＝PC·PA.模型3　双垂直型相关结论：△ACD∽△ABC∽△CBD，CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.7．（2019·宜宾）如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则

4、AD＝．8．（2018·娄底改编）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，求AE·BE的值．解：连接OE.∵半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE.∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∴∠OAB＋∠OBA＝90°.∴∠AOB＝90°.∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠OAE＝∠BOE.又∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽

5、△OEB.5/5∴＝，即AE·BE＝OE2＝OC2＝1.模型4　一线三等角型（1）如图1，△CAP∽△PBD（此图又叫作“三垂图”）；（2）如图2、图3，有以下结论：①△CAP∽△PBD；②连接CD，当点P为AB的中点时，△CAP∽△PBD∽△CPD.9．（2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．10．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，

6、∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＋∠ADB＝120°.∴∠BAD＝∠CDE.5/5又∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.∴＝，即＝.∴CE＝2.∴AE＝9－2＝7.【变式】　点D、E分别变到CB、AC的延长线上如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠ABD＝∠DCE＝120°.∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC

7、＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.5/5