函数值域求法总结

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1、函数值域求法1.配方法配方法是求二次函数值域最基木的方法z—。例1.求函数y=x2—2x+5,x“—1,2]的值域。解：将函数配方得：Y=(x-l)2+4・・・xw[—1,2]由二次函数的性质可知：当x=l时，ymin=4,当x=_l时，y唤=8故函数的值域是:[4,8]2.判别式法1+X4-X2V=例2.求函数l+x?的值域。解：原两数化为关于x的一元二次方程(y-l)x2+(y-l)x=0A=(-l)2-4(y-l)(y-l)>0(1)当yhiii寸，xgrl

2、为2'21g而解得：2"J"2(2)当y二1时，x=0,例3.求两数y=x+Jx(2-x)的值域。解：两边平方整理得：2x—2(y+l)x+y2=0(1)VxeR••.△=4(y+l)2—8y>°MW：1-V20,仅保证关于x的方程：2x2-2(y+l)x+y2=°在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0,2]±,丄1即不能确保方程(1)有实根，由△»()求出的范围对能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为&込…可以采取如下方法

3、进一步确定原函数的值域。・00-Ymin=0,y=l+V2代入方程(1)解得:X]=2+V2-24V2e[0,2]^2+V2-24V2即当心=2时，原函数的值域为:[0,1+V21注：山判别式法来判断函数的值域吋，若原函数的定义域不是实数集吋，应综合函数的定义域，将扩人的部分剔除。3.反函数法肓接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x+4例4.求函数5x+6值域。4-6yx=解：由原函数式可得：写-3则其反函数为:4-6y_5x-3,3

4、XH—其定义域为：5(3)—00,—故所求函数的值域为：V5丿4.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的冇界性，反客为主来确定函数的值域。ex-1y=例5.求函数ex+1的值域。ex二y+i解：由原函数式可得：y—iex>0I±l>o・・・y_i解得：-i

5、+P）g[-1,1]解得:-T-y-V24故函数的值域为V2V25.函数单调性法例7.求函数y=2"+log3仮二1（2

6、当x=10时,Ymax=25+log3V9=33故所求函数的值域为:例&求隊I数y=-7^二1的值域。2y=—/解：原函数可化为:Jx+1+Jx-l令力=V^n,y2二依二I,显然力必在［1，+8］

7、上为无上界的增函数所以y=yi,y?在［i，+m上也为无上界的增函数所以当x=i吋，尸力+丫2冇垠小值血，原函数冇最大值厲"显然y>°,故原函数的值域为6.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含冇根式或二角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法z—,在求函数的值域中同样发挥作用。例9.求函数y=x+VTT的值域。解:令X-1=t,(t0)贝ijx=t2+12193y=t2+t+l=(t+—尸+—・・・24又t>0,由二次函数的性质可知当t=0时,ymin=1当(TO时

8、，yT+8故函数的值域为[1,+°°)例10・求函数y=x+2+Jl-(x+l)2的值域。解：因l-(x+l)2>0即(x+1)2<1故可令X4-l=C0Sp,pG[0,71]...y=cosP4-1+Jl-cos2[3=sin(3+cos[3+1=72sin(p+—)+14兀505卩<7l,0

9、+x21+x2a-2X=sin2p,-~X=cos2p可令x=tg卩，则有l+x?1+x2y=-*sin2pxcos2卩=-*sin4pq_k兀兀1max"T飞时，沁蔦片竺+三y•当28时，'mm而此时以“卩有意义。故所求函数的值域为L47.数形结合法英题型是函数解析式具冇明显的某种儿何意义，如两点的距离公式直线斜率等等,这类题冃若运用数形结合法,往往会更加简单，一目了然，赏心悦冃。例12.求函数y=J(x—2)2+J(x+8