函数值域的求法总结

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1、专题：求函数值域的方法总结一、观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。【例1】求函数的值域。【例2】求函数的值域。【例3】已知函数，，求函数的值域。二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。【例1】求函数的值域。【变式】已知，求函数的最值。【例2】若函数时的最小值为，（1）求函数（2）当[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）【例3】已知，当时，求的最大值．【例4】(1)求在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数在上的最大值。【例

2、5】已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。【变式】已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。【例6】已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。【例7】求函数的值域.三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。【例1】求函数的值域【例2】求函数的值域。【变式】求下列函数的值域：(1)(2).四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。【例1】求函数的值

3、域。【例2】求函数值域。【例3】求函数的值域。【例4】求函数的值域。五、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。） 【例1】求函数的值域。【例2】求函数的值域。【例3】已知函数的值域为[1，3]，求的值。【例4】求函数的值域。【例5】已知函数的最大值为4，最小值为—1，则=，=【例6】求函数的值域。六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数

4、常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。【例1】求函数的值域。【例2】求函数的值域。【例3】求函数的值域。【例4】求函数的值域。【例5】求函数的值域。【例6】求函数，的值域。【例7】求函数的值域。【例8】求函数的值域。【例9】求函数的值域。【例10】．求函数的值域。七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 【例1】求函数的值域。【例2

5、】求函数的值域。【例3】求函数的值域。 【例4】【例5】已知a>0，x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的二个实根，并且

6、x1

7、+

8、x2

9、=2,求 a的取值范围以及b的最大值。八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。【例1】求函数的值域。【例2】求函数在区间上的值域。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。【例4】求函数的值域。【例5】求函数的值域。九.图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有

10、某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。【例1】求函数的值域。【例2】求函数的值域。【例3】求函数的值域。十、基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。【例1】求下列函数的值域：(1)(k>0);(2)。【例2】若，求的最小值【例3】求函数的最小值【例4】求y=(xÎ)的最小值。【例5】若函数y=f(X)的值域为,则函数的值域是。【例6】求函数的值域

11、。十一、利用向量不等式 性质1若，则当且仅当时等式成立性质2，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。性质3，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。类型（1）型（同号）【例1】求函数的最大值。【例2】求函数的最大值。【例3】求函数的最小值。【例4】设x1（i＝1，2，……，2003）为正实数，且，试求的最小值。【例5】已知，求的最小值。十二、一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。【例1】求函数的值域。十三、多种方法综合运用【例1】求函数的值域

12、。【例2】求函数的值域。