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《导数及应用案例分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数及应用解题分析1.求函数y=lnsin(2x+l)的导数.解法一:链式法则：令y=lnw,w=sinv,v=2x+l,因为y：=(lnu)-~^v=(sinv)=cosv,v^=(2x+l)=2,"iiv所以;/=XXI=丄cosv•2=2cos(2无+1)=2cot(2x+l).usin(2x+l)解法二：从外向里逐层求导：/=[lnsin(2x+l)l=[sin(2x+l)l=cos(2.x+1),L」sin(2x+l)L」sin(2x+l)2cos(2x+l)_[、==2cot(2x+1)・sin(2x+l)2.求函数y=(l-2x)
2、,0-v的导数.分析：此函数的形式为/心严)，称为幕指函数，应该采用对数求导法.解：两端取对数，WIny=(10-x)ln(l-2%),两端对兀求导数，得(1一2兀)ln(10-x)+2(10-x)1—2兀所以)(1一2兀严(1—2兀)ln(10—兀)+2(10—兀)1-2%1.求函数y=ln(兀-J1-/)的导数.2ZT-x^_2a/1-x2-1x-l-x22(x-J-x2)V1-x2错误分析：此解错谋在于复合函数分解不彻底，导致求导数的链式公式环节不全，丢掉T(i-x2y.错解二(X-Jl-/y_1_(丁1_兀2丫(1_兀2)，x
3、—yj—x~x—yj—x~错误分析:在第二个等号后(-x2y的写法是错误的，因为(VI二7)'就表示复合函数拆〒对兀的导数，并不表示于VI〒对中间变量w=i-x2的导数，所以再写(i-x2y就是多余的.i_(i一i+_*正解：/=x—yji—x~y/l—x~(x—y/1—x~)2也」_Vl-x2X-Vl-X21.求孰丽的近似值.分析：求弓0.99的近似值可以看作求函数/(x)=Vx在x=0.99处的函数值，而0.99与1接近，相差0.01.故可作辅助函数/(%)=灵,并取％=1，心二-0.01•于是可以利用公式/(兀+心)=/©())+厂(
4、心)山，來求亦冈的近似值.11_4解:设/(x)=y/x,并取x()=1,Ar=-0.01.求得fx)=(x5y=-x5,于是<99=/(0.99)=/(1-0.01)-/(l)+/z(l)(-0.01)r_41二拆+—(1)丐x(-0.01)=1一一x0.01二0.998・2.设方程x=y■确定了y是x的函数，求dy・分析：该方程涉及的函数是幕指形式，因而应该运用取对数求导法，而后可用两种方法求解：一是先求导数)/,再用公式dy=yfdx求微分；二是对等式两端分别求微分，再用微分法则，最后解出微分dy即可.解法一：对方程%=/两端取对数，
5、得lnx=ylny,两端再对兀求导数,得丄=yiny+y—/,解得)/二,xyx(l+lny)故得dy=dx・x(l+Iny)解法二：对方程兀=yy两端取X寸数，得x=yIny,对等式两端求微分,得d(x)=d(yy),—dx=(Iny)dy+y—dy=(Iny+l)dy,解得dy=dx.xy•x(l+Iny)1.已知抛物线y=/+2兀+3,(1)求抛物线在点M0(2,ll)处的切线方程和法线方程；(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线y=-2x?分析：点斜式直线方程为y-yQ=k(x-xQ'),点M()(兀(),儿)处切线的斜率为
6、心=厂(兀。)，点叫(心儿)处法线的斜率为心=-二二K切1、厂(兀0)•解：(1)心=厂(2)=(〒+2兀+3)化2=(2兀+2)1口=6,«法=一丄，6所以切线方程为y-11=6(x-2),化简得6x-y-1=0・法线方程为y-ll=-—(x-2),化简得x+6y-68=0.6(2)设平行已知直线的切线与抛物线的交点为(x,y),由题设知此切线的斜率为-2,所以令/z(x)=2x+2=-2,解得x=-2,代入抛物线方程得)，=3・所以在抛物线上点(-2,3)处的切线平行于直线y=-2兀.2.求函数歹=頁+1口龙的导数./1]_2错解:y=(l
7、[x-v7T^=(x^y+Cln^/=-x3错解分析：In龙是常数，不是变量，所以(ln^=0正解:1.据测定，某种细菌的个数y随时间t(天)的繁殖规律为y=400y求(1)开始时的细菌个数；(2)第5天的繁殖速度.解：(1)由y=4OOeol7z可知，当心0时y=400,所以开始时的细菌个数为400个.(2)因为y=0.17x400xe°17所以第5天的繁殖速度为yi/=5=0.17x400x?)17x5-159(个/犬).9.已知平面环的内径为10cm,外径为10.1cm，求(1)圆环面积的精确值；(2)圆环面积的近似值.解：⑴圆环面
8、积“丄龙。―〃2),其中为外径，d为内径，所以圆环面积4的精确值为S=-^(10.12-102)=-^x2.01=0.5025/r(cm2).44(2
