二面角及立体几何课后习题

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1、二面角及立体几何课后习题1. 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．。2.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值

2、．5. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．6.120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．8．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．9．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求

3、证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．10．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数．答案：8解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，∴答案9证明（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC

4、的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．设，则，，．答案10(1)证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．取AC的中点F，分别连结BF和F

5、C，由AB＝BC得BF⊥AC．∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．∵∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即DA⊥AC．∵CC⊥面ACB，由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．