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《人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(二十六) 平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1.(2018·陕西二模)已知向量a=(2,3),b=(x,4).若a⊥(a-b),则x=( )A.1 B. C.2 D.3B [由题意,得a-b=(2-x,-1).因为a⊥(a-b),所以2×(2-x)+3×(-1)=0,解得x=,故选B.]2.已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c夹角为( )A.B.C.D.A [cos〈b,c〉===-,又由x2≥0且a∥b得a,b是反向共线,则cos〈a,c〉=-co
2、s〈b,c〉=,〈a,c〉∈[0,π],则〈a,c〉=,故选A.]3.(2019·西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,请设法计算·=( )A.10B.11C.12D.13B [以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,1),C(6,4),=(4,1),==(2,3),∴·=4×2+1×3=11,故选B.]4.(2019·银川模拟)在正方形ABCD中,点E为BC的中点,若点F满足=λ,且·=0,则λ=( )A.B.C.D.A [以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系
3、(图略),设正方形ABCD的边长为2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(2,1),由于=λ,则点F在直线AC上,设F(a,a),那么·=(2,1)·(a-2,a)=3a-4=0,解得a=,结合=λ,可得=2λ,解得λ=,故选A.]5.已知平面向量a,b,c满足
4、a
5、=
6、b
7、=
8、c
9、=1,若a·b=,则(a+c)·(2b-c)的最小值为( )A.-2B.-C.-1D.0B [因为a·b=
10、a
11、
12、b
13、·cos〈a,b〉=cos〈a,b〉=,所以〈a,b〉=.不妨设a=(1,0),b=,c=(cosθ,sinθ),则(a+c)·(2b-c
14、)=2a·b-a·c+2b·c-c2=1-cosθ+2-1=sinθ,所以(a+c)·(2b-c)的最小值为-,故选B.]二、填空题6.(2019·青岛模拟)已知向量a,b满足
15、b
16、=5,
17、a+b
18、=4,
19、a-b
20、=6,则向量a在向量b上的投影为________.-1 [设向量a,b的夹角为θ,则
21、a+b
22、2=
23、a
24、2+2
25、a
26、
27、b
28、cosθ+
29、b
30、2=
31、a
32、2+10
33、a
34、cosθ+25=16,
35、a-b
36、2=
37、a
38、2-2
39、a
40、
41、b
42、cosθ+
43、b
44、2=
45、a
46、2-10
47、a
48、cosθ+25=36,两式相减整理得
49、a
50、cosθ=-1,即向量a在向量b上的投影为
51、a
52、c
53、osθ=-1.]7.(2018·南昌一模)平面向量a=(1,m),b=(4,m),若有(2
54、a
55、-
56、b
57、)(a+b)=0,则实数m=________.±2 [由题意可得a+b≠0,则2
58、a
59、=
60、b
61、,即4(1+m2)=16+m2,解得m2=4,m=±2.]8.已知非零向量m,n满足4
62、m
63、=3
64、n
65、,cos〈m,n〉=,若n与tm-n夹角为钝角,则实数t的取值范围是________.(-∞,0)∪(0,4) [∵n与(tm-n)夹角为钝角,∴n·(tm-n)<0且n与(tm-n)不共线.∴又m·n=
66、m
67、
68、n
69、cos〈m,n〉=n2×=n2.即n2-n2<0且t
70、≠0,∴t<4且t≠0.]三、解答题9.(2017·江苏高考)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.[解] (1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以
71、x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.10.已知
72、a
73、=2,
74、b
75、=1.(1)若a⊥b,求(2a-b)·(a+b)的值;(2)若不等式
76、a+xb
77、≥
78、a+b
79、对一切实数x恒成立,求a与b夹角的大小.[解] (1)∵a⊥b,∴a·b=0,∴(2a-b)·(a+b)=2a2+a·b-b2=7.(2)设向量a,b的夹角为θ,则a·b=
80、a
81、
82、b
83、cosθ=2cosθ.不等式
84、a+xb
85、≥
86、a+b
87、两边平方可得:a2+2a·bx+x2b2≥a2+2a·b+b2,即:4+4xcosθ+x
88、2≥4+4cosθ+1.