2015-2016学年高中数学 第一章 常用逻辑用语章末小结 新人教A版选修1-1

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1、【金版学案】2015-2016学年高中数学第一章常用逻辑用语章末小结新人教A版选修1-1逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，因此，高考对本章内容的考查以考查四种命题、逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定为主，以及以充要条件为载体考查函数、数列等知识．在难度上以容易题为主，题型主要是选择题和填空题．原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：(1)互为逆否的两个命题是等价的

2、(同真同假)．因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．　　　(2014·陕西卷)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案：A变式训练1．(2013·广东湛江“十校”一模)下列有关命题的说法正确的是(D)A．命题“若x2＝1，

3、则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝6”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“对任意x∈R，均有x2－x＋1＞0”的否定是“存在x∈R，使得x2－x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为真命题解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；“x＝6”⇒“x2－5x－6＝0”，但“x2－5x－6＝0”⇒“x＝6”，故“x＝6”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；命题“对任意x∉R，均有x2－x＋1＞0”的否定是“存在x∉R，使得x2－x＋1≤0”，故C不正确；命题“

4、若x＝y，则cosx＝cosy”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故D正确．故选D.有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．判断充分条件和必要条件的方法有：①定义法；②等价法；③集合的包含关系，要注意传递性的应用．　(1)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>bB．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0

5、，＋∞)上为增函数解析：B选项中，当b＝1，a>1时，q推不出p成立，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，不能够推出p成立，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故本题选A.答案：A　方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________．解析：设方程的两相异同号实根为x1，x2则∴　∴0

6、(2013·茂名一模)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充分条件是(D)A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：(1)由不等式性质知：当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝1.5时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分不必要条件．(2)a⊥b⇔2(x－1)＋2×1＝0⇔2x－2＋2＝0⇔x＝0，故选D.由逻辑联结词联结组成的复合命题的结构判断和命题的真假判断是本专题的重点内容，结构的判断不能只看是否含有逻辑联结词，还要从结构上去判断能否用逻辑联结词联结．命题真假的判断根据真值表即可．　已知命

7、题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，那么实数a的取值范围是(　　)A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，12)∪(－4，4)D．[－12，＋∞)解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(