非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真设计

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1、.admin[非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真]——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解...1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinearSchrodingerequation，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x，t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光脉冲在光纤中传输

2、状态下的演变。一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。通过Maxwell方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。NLSE是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-stepfinitedifferencemethod，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-stepFouriertransformmethod，SSFT)。一般情况，

3、在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。并通过MATLAB软件对结果数值仿真。非线性薛定谔方程的基本形式为:（I）其中u是未知的复值函数.目前，采用分步傅立叶算法(SplitstepFourierMethod)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕

4、方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(FastFourierTransformAlgorithm)。基于MATLAB科学计算软件以及MATLAB强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。一般情况下，光脉冲沿光纤传播时受到色散和非线性效应的共同作用，假设当传输距离很小的时候，两者相互独立作用，那么，根据这种思想可建立如下分步傅立叶数值算法的数学模型：把待求解的非线性薛定谔方程写成以下形式:（II）¶...其中是线性算符，代表介质的色散和损耗，是非线性算

5、符，它决定了脉冲传输过程中光纤的非线性效应。一般来讲，沿光纤的长度方向，色散和非线性是同时作用的。分步傅立叶法假设在传输过程中，光场每通过一小段距离h，色散和非线性效应可以分别作用，得到近似结果。也就是说脉冲从z到z+h的传输过程中分两步进行。第一步，只有非线性作用，方程(II)式中的=0；第二步，再考虑线性作用，方程(II)式中的=0这样方程(2)在这两步中可分别简化为:（III）得到了上面两个方程（III），就可以分别求解非线性作用方程和线性作用方程，然后讨论分步傅立叶法的数值算法。由于方程（II

6、I）是一个偏微分方程，需要通过傅立叶变换把偏微分方程转换为代数方程，进行运算。傅立叶变换的定义如下：（IV）在计算时一般采用快速傅立叶变换（FFT）算。为了保证精度要求，一般还需要反复调整纵向传输步长z和横向脉冲取样点数T来保证计算精度。2、分步傅立叶数值算法的MATLAB实现现待求解的非线性薛定谔方程如下:（V）其中，A(z,T)是光场慢变复振幅，z是脉冲沿光纤传播的距离；,,vg是群速度；是色散系数；是非线性系数；是光纤损耗系数，它与用分贝表示的损耗系数的关系为：....首先，可以将方程（V）归一

7、化振幅：，是入射脉冲的峰值功率，此时方程(V)可改写为：（VI）为了使用分步傅立叶法求解方程(VI)，将方程(VI)写成以下形式:进一步，可以得出如下方程（VII）：（VII）然后，按照步骤1和步骤2，依次计算方程（VII）的线性算符和非线性算符。最后在步骤3中，运行步骤1和步骤2的MATLAB程序，得出线性算符和非线性算符的精确数值解及其仿真曲线。步骤1线性算符方程的求解线性算符的方程如下：（VIII）ba用傅立叶变换方法，得到一个常微分方程（IX）：（IX）解方程(IX)得:（X）式中是初值的傅立

8、叶变换，将进行反傅立叶变换就得到了。方程(X)的求解公式为:（XI）其中和分别表示傅立叶变换和反傅立叶变换运算。...步骤2非线性算符方程的求解非线性部分的方程如下：（XII）同Step1的方法，解方程（XII），得到：（XIII）式中是初值的傅立叶变换，将进行反傅立叶变换就得到了。方程(XIII)的求解公式为:（XIV）其中和分别表示傅立叶变换和反傅立叶变换运算。步骤3算法在MATLAB中的实现在Matlab中，设有限时长序列的长度为，它对应于一个频域