第8讲一元二次方程(含答案点拨)

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1、第8讲一元二次方程I；ONGK.4(>>IV(tnO考纲要求命题趋势1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的解法.3・了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用.4.会列一元二次方程解决实际问题.结合近年屮考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，•其他知识综合命题时常为解答题.丿hOI'ERIBf：tZHiSHt知识梳理一、一元二次方程的概念,这样的整式方1.只含有个未知数，并口未知数的最高次数是程叫做一元二

2、次方程.2.一元二次方程的一般形式是.二、一元二次方程的解法1.解一元二次方程的基本思想是,主要方法有：直接开平方法、、公式法、.2.配方法：通过配方把一元二次方程ax2+bx+c=O(a^O,沪一4dc$0)变形为(%+£)2=的形式，再利用直接开平方法求解.3.公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)当戾一4dc20时，x=.4.川因式分解法解方程的原理是：若ab=0,贝Ua=0或.三、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式是・2.(l)/72-4f/c>00一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)有两个实数根；(2)沪一4必=00—元二次方程ax2

3、+bx+c=0(a^0yH两个实数根；(3)戻一4qcV0Q--元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)实数根.四、一元二次方程根与系数的关系1.在使用一元二次方稈的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式.2.若一元一次方程ax2+bx+c=0(a^0)的两个实数根是心七，则小+兀2=XX2=•五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：⑴审题；(2)设未知数；(3)找；(4)列方程；⑸；(6)检验；(7)写出答案.自主测试1.一元二次方程/-2a-1=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根A.没有实数

4、根1.如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数。是()A.2B.-2C.4D.—43・某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是()A.200(1+«%)2=148B・200(l-«%)2=148C・200(l-2«%)=148D.200(l-«2%)=1484.已知一元一次方程2x2—3x—=0的两根为兀1，也，则xi+x2=5.解方程：x2+3=3(x+1).考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.x2+~2=0B.d,+bx+c=0xC.(x-l)(x+2)=lD.3x2-2xy-5y2=0

5、解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0;选项D中含有两个未知数.故选C.答案：C方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2;④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1己知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是()A.-2B.2C.5D.6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x2—4x+=0.分析：本题可用配方法或公式法求解.配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程.对于任意的一元二次方程，只要将方程化成

6、一般形式，就可以直接代入公式求解.解：解法一：移项，得x2-4x=-1.配方，得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,由此可得x—2=±需，X]=2+书，“2=2—书.解法二：a=l,b=—4,c=l.b2~4ac=(—4)2—4X1X1=12>0,x==2土书.方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化•选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法.选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速.触类旁通2解方程：,+3x+l=0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x的一元二次方程F+伽一2

7、)x+加+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()A.0B.8C.4±^2D.0或8解析:b2—4fzc=(tn—2)2—4(/??+1)=0,解得加]=0,=8.故选D.答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式ir-^ac=0,从而得到一个关于加的方程，解方程求得加的值即可.一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；⑵根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况.触类旁通3已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0