惠州市2015届高三第一次调研考试(理科试题)

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1、惠州市2015届高三第一次调研考试数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数（其中为虚数单位）的虚部是（）2．已知集合，，则下列结论正确的是（）3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为()4．已知等差数列的前项和为，若，则()43233正视图侧视图俯视图5．在二项式的展开式中，含的项的系数是（）6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）7．已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（）第15页共15页8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则

3、（）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．函数的定义域是.10．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是.11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量满足，则的最大值是.13．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是.15

4、．(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，且，，则腰长=.三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知.(1)求的值；(2)求的值．第15页共15页17．（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1)求的值；(2)根据

5、样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3)如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O51525354518.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1)求证：；BA1CAB1C1(2)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。第15页共15页19．（本小题满分14分）已知数列中，，前项和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和

6、为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．F2OxyPABF1A2l21．（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为．记函数在区间上的最大值为．(1)如果函数在处有极值，试确定的值；(2)若，证明对任意的，都有；(3)若对任意的恒成立，试求的最大值．第15页共15页惠州市2015届高三第一次调研考试数学(理科）参考答案与评分标准一．选择题

7、：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CCBDACAD1.【解析】化简得，则虚部为，故选2.【解析】已知集合,故选3.【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选4.【解析】由题意，等差数列中，所以，故选3243第6题图5.【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系数为，故选6.【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选7.【解析】此题为几何概