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《【人教版】数学培优新帮手（七下）：专题12-数余的扩充试题（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、12数余的扩充实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界小•确实存在不同于有理数的数一一无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1.把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数纟的形式（这里”，q是互P质的整数，且p工0）;2.掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与乃相关的数，开方开不尽得到的数等；3.有理数对加.、减、乘、除是
2、封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是•无理数；4.明确无理数的.真实性.克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、•积、商一定还是无理数；③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；④一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例已知0—2
3、+（b+4）2+J°+b—2c=0.则（°c）b的平方根是.（湖
4、南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性.，求出a,b,q的值.【例2】若G,b是实数,且。2=如!+J24+4.则a+b的值是（）.A.3或一3B.3或一1C.—3或一1.D.3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得b->0,2—2b$0,^lhb=A.代入原式中可得d=±2.由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：①石中a>0；②y[a>0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】己知实数m.,/?,〃满足等式7^-199+/?•J199-/?7-刃=+5并一2-』2m+3n-p,求〃的值.（北京市竞赛试题）解题思路：观察发
5、现（m-199+n）,（199-/71-/7）互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点••【例4】已知d,b是有理数，JL（-+—）tz+（丄一——V3=O,求d,b的值.32412420解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于b的方程组.实数有以下常用性质：①若a,b都是有.理数，&为无理数，且a+bVc=0,则a=h=0；②若d,b,c,d都是有理数，Vc,丽为无理数，dl“a+说+则a=b,c=d.要证一个数是有理数，常证这个数能表示成儿个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾.想一想怎样证明
6、血是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数兀，y,z满足x）'z^0.且x+y+z=O.求证:在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下血两个问题:（1）设d,b,c为两两不相等的有理数，求证:亠+亠+亠为有（a一by（b一c）2（c一理数.(2)设S=Jl+*+£+…+卜爲+爲’求S的整数部分.1+"+1)2解题思路：从公式(«+/?+c)2=€72+/?2+C2+2(q/?+/?C+QC)入手.【例6】设&=1+占+*,$2=1+*+*求阿+医+…+医的值（用含斤的代数式表示，其屮斤为正整数）.（I川川省成都市中考试题）解题思路：解答此题•的关键是将S”变形为一个代数式的平
7、台。A级1.在实数一4,—,0,V2-1,V64,历，丄中，共有个无理数.227(贵州省贵阳市中考试题)2.设a=证,"是/的小「数部分，则0+2)3的值为_.C2013年全国初中数学竞赛试题)3.已知q_4
8、+斫3=0,则“1".巴二竺的值为.
9、b~cr-b~(山东省济南市中考试题)4.观察下列各式：71+1x2x3x4=尸+3x1+1,71+2x3x4x5=22+3x2+1,71+3x4x5x6=32+3x3+1,(A+B):(A-3)=(2x+y):(x-刃猜测：V1+2005x2006x2007x2008=.(辽宇省大连市中考试题)5.已知有理.数A,B,x,y满足A+BhO,(A+B
10、):(A-B)=(2x+y):(兀一刃，那么A:(A+B)=..A.3x:(2x+y)B.3x:(4x+2y)C.x:(x+y)D.2x:(2x+y)（2013.年“实屮杯”数学竞赛试题）1.若x,y为实数，且x+2
11、+77^2=0,贝'J(-)2009的值为().yA.1B.-1C.2D.-2（天津市屮考试题）7.一个自然数的算，术平方根为G,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）•A.aB.C
