定点、定值与存在性问题(学生)

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1、例1　(1)已知椭圆x2＋3y2＝5，直线l：y＝k(x＋1)与椭圆相交于A，B两点．①若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；②在x轴上是否存在点M(m,0)，使·的值与k无关？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．(2)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．思考题1　(1)(2012·福建)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的

2、周长为8.①求椭圆E的方程；②设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．(2)(2013·山西四校联考)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足·＝1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．①求P点坐标；②求证直线AB的斜率为定值；③求△PAB面积的最大值．第3页例2　(2013·长春调研)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为

3、原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－24y－20－4(1)求C1、C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．思考题2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．课后练习1．已知点B(－1,0)，C(1,0)，P是平面上一

4、动点，且满足

5、

6、·

7、

8、＝·.(1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论．第3页3．如图，已知椭圆＋＝1的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得

9、AB

10、＋

11、

12、CD

13、＝λ

14、AB

15、·

16、CD

17、恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(1，)，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，且△F1F2M为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2012·湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆

18、C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．第3页