类型② 图形面积存在性问题探究

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1、类型②图形面积存在性问题探究C问题分类1・三角形面积的最大值（1）“抛物线上的顶点，使之和一条定线段构成的三角形面积”的问题.（2）“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题.（3）“三边均动的动三角形面积最大”的问题.2・四边形面积的最大值（1）“一抛物线上是否存在一点，使Z和另外三个定点构成的四边形而积最大”的问题.（2）“定四边形面积的求解”问题.3•图形运动过程中出现重叠部分的图形面积.学生常见错误1•动点坐标与动线段，长度的转化不能较好理解.2・列出面积的表达式后，化简能力缺乏.3

2、•对图形运动过程缺乏分析，遗漏答案.C基本思路：割补法-1•过动点向y轴作平行线，找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标设好，转化为长度代入，利用二次惭数最值进一步可得到题目要求出的最大值.2•先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图屮另一个三角形相似（常为图中最大的那一个

3、三角形）•利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高.从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了.3•经过三角形的3个顶点构造矩形，利用矩形面积减去3个三角形面积.4•一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题，由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连接两个定点，即可得到一个定三角形）的面积Z和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的而积最大.5・“定四边形面积的求解”问题：

4、有两种常见解决的方案：方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线5或者把该点与原点连接起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积Z和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差），转化为一个开口向下的二次函数问题.C题型攻略-1•三角形面积（1）己知抛物线三定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再与抛物线上的顶点形成三角形労求出这个三角形面积.（2）己知抛物线上一动点与两定

5、点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再在抛物线上求一动点与它们形成三角形，并求出这个三角形面积的最大值.(3)三边都在变化的三角形的面积：两个动点沿两条直线运动与一个定点形成的三角形的面积最大值.2・四边形面积的最大值(1)抛物线上的顶点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与顶点形成的四边形的面积.(2)—抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与另一动点形成的四边形的最大值.3•重叠部分的面积

6、几何图形由于折叠、平移与一基本图形出现重叠部分，求重叠部分的图形面积.典题精讲)♦三角形面积【例1】如图，一小球从斜坡O点抛岀，球的抛出路线可以用二次函数y=—x2+4x刻iwi，斜坡可以用一次函数y=

7、x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标；(3)连接抛物线的最高点P与点O，A得APOA，求APOA的面积；⑷在0A上方的抛物线上存在一点M(点M与点P不重合)，AMOA的面积等于APOA的面积，请写出点M的坐标.【解析】(1)配方法即可求得P点坐标；(2)联立方程组可

8、求点A的坐标；(3)过点P作PB丄x轴交0A于点B，可得点B的坐标，表示出PB的长，以PB为公共边求出两个三角形的面积之和即可；(4)利用三角形同底等高的知识，过点P作PM//OA交抛物线于点M，保证两个三角形的高相等，从而面积相等.【答案】解：(1)y=-x2+4x=-(x2-4x)=-(x2-4x+4)+4=-(x-2)2+4，・•・最高点P的坐标为(2，4)；y=—x2+4x，(2)点A的坐标满足方程组｛1y=F，・••点A的坐标为'占)；3_21*•24'(1)如图，过点P作PB丄x轴交0A于点B，则点B的坐

9、标为(2‘1)，・・・PB=3.Sapoa=Saqpb+Saapb=~2X3X2+㊁X3X(2)过点P作PM〃OA交抛物线于点M，连接OM，AM，则AMOA的面积等于APOA的面积，设直线PM的解析式为y=^x+b，代入P(2，4)，得*X2+b=4，解得b=3»二直线PM的解析式为y=

10、x+3，y=—x2+4x、根据题意可列方程组｛1y=pc