第七章第5讲直线、平面垂直的判定与性质

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1、第5讲　直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面

2、所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈[0，]．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角αlβ或二面角PABQ．②二面角的平面角如图，过二面角αlβ的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．④当θ＝时，二面角叫做直二面角．[做一做]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系

3、是(　　)A．平行　　　　　　　　B．垂直C．异面D．以上都有可能答案：B2.如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D.由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.1．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交．(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(

4、3)注意对平面与平面垂直性质的理解．2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[做一做]3．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直

5、”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)　　A．相交且垂直　　　　　　B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直解析：选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD.又BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.

6、,[学生用书P132～P134])__线面垂直的判定与性质(高频考点)_______直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题．　(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：

7、CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．扫一扫　进入91导学网(www.91daoxue.com)直线与平面垂直的性质　　[解]　(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面DMF.(2)因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∴∠PCD＝60°，所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.过点F

8、作FG⊥CD，得FG＝FCsin60°＝×＝，所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，所以MD＝＝＝.S△CDE＝DE·DC＝××1＝.故VMCDE＝MD·S△CDE＝××＝.[规律方法]　判定线面垂直的四种方法：(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面