高数典型例题

《高数典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第一章函数及其图形例1：（）.A.{x

2、x>3}B.{x

3、x<-2}C.{x

4、-2

5、x≤1}   注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不

6、同，当

7、x

8、>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。例5：f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。A．偶函数B．有界函数C．单调函数D．周期函数解：由于，可

9、知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f

10、(x)+f(y)中令y=-x，得0=f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)所以有f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，故应选A。例8：函数的反函数是（）。A．　　 B．　C．　 D．解：于是，是所给函数的反函数，即应选C。例9：下列函数能复合成一个函数的是（）。　A．　　B．　C．　　D．解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f(u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。例10：函数可以看成哪些简

11、单函数复合而成：解：，三个简单函数复合而成。第二章极限与连续例1：下列数列中，收敛的数列是（）A.B.C.D.解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。由于，故（B）中数列发散。由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。由于，故（D）中数列收敛。例2：设，则a=()A.0B.1C.3D.1/3解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因

12、而≠0。当≠0时，所给极限为，故应选C。一般地，如果有理函数，其中、分别为n的k次、l次多项式，那么，当时，当k=l时，f(n)的极限为、的最高次项的系数之比；当kl时，f(n)的极限为∞。对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数的极限，也有类似的结果。例3.A.0B.1C.πD.　n解利用重要极限 ，故应选C。注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。

13、例4.求解法1解法2解法3例5.A.0B.1C.1/2D.1/4解：由于,故应选D。例6.解:注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。例7.当x→0时，的（）。A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低价无穷小量D.较低阶的无穷小量 解：由于可知是x的同阶无穷小量，所以应选A。例8.当等价的无穷小量是()A.B.C.D.解：由于可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。例9.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是()A.B.C.D.解

14、：由于所以应选A.例10．要使函数在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是()A.1/2B.2C.1D.0解：要使函数f(x)在x=0处连续，必须有因此要令f(