高数典型例题(部分)ppt课件.ppt

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1、例1解多元函数12解例2法一方程组各方程两边微分,得{分析变量4个,方程3个,独立自变量1个.由题意选x为独立自变量.3法二方程组各方程两边对x求导,得4例3解分析拉格朗日乘数法.法一5得6即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,7法二设P(x,y,z)为旋转抛物面几何法.法向量上的任一点.8法三为旋转抛物面上任一点,为平面上任一点.由两点间距离公式有令9试求和.解题思路再代入上式即得.例410解则设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.例511则切平

2、面方程为:即证.上的任意一点处的切平面都过原点.12解例6此方向导数等于梯度的模?13此方向导数等于梯度的模?1415例1解先去掉绝对值符号，如图二、三重积分例2解例3解例证例解由于被积函数含有抽象函数,因此要采用法一故无法直接积出.一些技巧.奇函数奇函数法二（画第二象限部分）（如图）则有对称性作曲线思考题解令不能直接积出,改变积分次序.法一故法二设则则例5解证所以,例4解例6解例7旋转曲面方程为旋转曲面方程设函数连续且恒大于零,其中(1)讨论在区间内的单调性.(2)证明例8(1)解因为球极坐标(1)讨论在区间

3、内的单调性.设函数连续且恒大于零所以,单调增加.(1)讨论在区间内的单调性.(2)证因(2)证明要证明只需证明即令则故单调增加.因为所以因此,(2)证明设函数连续且恒大于零思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式解无穷级数例解分母41根据级数收敛的必要条件，级数分子分母发散．42正解从而有级数级数收敛；发散;43所以,原级数也发散．44例解即原级数如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?发散,发散非绝对收敛．45由莱布尼茨定理是交错级数,(1)46所以此交错级数收敛，故原级数是(2)条件收敛．47例解两边逐项积分收敛半

4、径为收敛域为设此级数的和函数为s(x),则有4849例解分析的和函数展开?的幂级数.是的展开式,设法用已知展开式来解.5051解故知可知例A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定绝对收敛.对一切满足阿贝尔定理绝对收敛.52证由已知条件知因此,所以,由级数收敛的必要条件,例53解例54例证明在区间上有恒等式并求级数分析欲证之等式等价于这是要证明一个三角级数在指定区间内收敛于一函数.这是傅里叶级数的反问题.证明这类题的一般方法是将所给函数在指定区间内展成傅里叶级数,看它是否等于给定的级数.的和.55得得由

5、于x2为偶函数,证故56解例得57处处收敛.收敛发散58解例可设收敛半径59逐项求导积分得60得61练习求的收敛域与和函数.提示解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,62又设(逐项求导即可得)和函数为(逐项求导即可得)设设63练习解展开区间64