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1、Review2例设D为圆域?二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：二重积分的概念与性质RD3补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质7则D1为D在第一象限中的部分,对称性质二重积分的概念与性质坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于4如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中
2、的部分,二重积分的概念与性质5设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域?二重积分的概念与性质61.其中是闭区域:2.,其中:3.交换下列二次积分的次序:二计算题74将二重积分化为极坐标系下的二次积分5设求二重积分6计算二次积分8返回二、计算下列二重积分:1.利用函数的奇偶性及图形的对称性2.P1242(4)913O返回1045由于关于轴对称所以，返回xy11返回12设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面微分法在几何上的应用13
3、考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程微分法在几何上的应用14曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.微分法在几何上的应用15今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用函数的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为16微分法在几何上的应用由于曲线Γ在曲面Σ上,所以在恒等式两端对t求全导数,并令则得若记向量曲线Γ在点M处切线的方
4、向向量记为则※式可改写成即向量垂直.※17因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的微分法在几何上的应用过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的18曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:微分法在几何上的应用切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的3.求曲面处的切平面与法线方程.解答2.若曲线在某点处的切线平行于平面x+2y+
5、z=4.求切点的坐标.解答2.解:设切点对应参数为t.切线的方向向量为它平行于已知平面x+2y+z=4.所以与平面的法向量内积为零.得解此方程得所求切点坐标为返回3.解:令在给定点的切平面的法向量为切平面方程为法线方程为多元函数取得极值的条件必要条件：设函数z=f(x,y)在点具有偏导数，且在点取得极值.则函数在该点的两个偏导数为零.即充分条件：设函数z=f(x,y)在点的某邻域内连续.且具有一阶、二阶连续偏导数.又令若函数在点取得极值，A>0,取得极小值，A<0取得极大值；若函数在点不取得极值
6、；若情况不能确定.5.条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量除定义域外有其他附加条件的极值.拉格朗日乘数法求函数z=f(x,y)在条件下的极值.构造函数解出x、y，(x,y)就是可能的极值点.11.将周长为l的矩形绕一边旋转一周形成一圆柱体，问边长分别为多少时可使此圆柱体体积最大？解答解答返回11.设矩形两边长分别为时可使旋转成的此圆柱体体积最大.返回28解全微分例计算函数在点的全微分.所以29多元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算两个中间变量两个自变量具有
7、连续偏导数,2.的情形.30uv多元复合函数的求导法则链式法则如图示31则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域(1)(2)(3)满足:32例设有隐函数,其中F的偏导数连续,求解令用复合函数求导法法一由公式.隐函数的求导公式可分离变量的微分方程第二节一阶线性微分方程齐次方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程34如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个
8、变量的函数与这个可分离变量的方程或可以写成的形式,易于化为形式特点变量的微分之积.两端积分可得通解.一阶微分方程一、可分离变量的微分方程35可分离变量的方程求通解的步骤是:分离变量,两边积分其中C为任意常数.就是方程的通解分离变量法.1.2.由上式确定的函数(隐式通解).这种解方程的方法称为将上式一阶微分方程36一阶微分方程例求方程的通解.解分离变量两端积分为方程的通解.C为正常数.37一阶微分方程练习解通解为C为任意常数.38非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注一阶线性方
