高三数学第二轮复习讲义-函数概念与基本初等函数

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】函数概念与基本初等函数典型例题题型一、函数解析式：例1.（1）已知f（）=lgR，求f（R）；（2）已知f（R）是一次函数，且满足3f（R+1）-2f（R-1）=2R+17，求f（R）；变式训练1已知f（R）满足2f（R）+f（）=3R，求f（R）.解：(1)f（R）=lg,R∈(1,+∞).（2）f（R）=2R+7.变式训练1f（R）=2R-.题型二、函数定义域。值域：例2：（一）求下列函数的定义域：（1）R=+(R-1)0;(2)R=+(5R-4

2、)0;(3)R=+lgcosR;解：（1）（-3，1）∪(1,2).（2）（3）（二）.求下列函数的值域：（1）R=(2)R=R-;(3)R=.解：（1）.（2）.（3）{R

3、-1＜R＜1}.变式训练2求下列函数的值域：（1）R=4-;(2)R=R+;(3)R=.解：（1）［2，4］.(2)（-∞，-4］∪［4，+∞）（3）将函数式变形为R=，［，+∞）题型三、函数单调性：例3.已知函数f(R)=aR+(a＞1)，证明：函数f(R)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一定义

4、法.方法二f(R)=aR+1-(a＞1),求导数得=aRlna+,∵a＞1,∴当R＞-1时，aRlna＞0,＞0,＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(R)在（-1,+∞）上为增函数.变式训练3．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(R)满足f(=f(R1)-f(R2)，且当R＞1时，f(R)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(R）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(

5、R

6、)＜-2.解：（1）令R1=R2＞0,代入得f(1)=f(R1)-f(R1)=0,故f(1)=0

7、.（2）任取R1,R2∈(0,+∞)，且R1＞R2,则＞1,由于当R＞1时，f(R)＜0,所以f＜0,即f(R1)-f(R2)＜0,因此f(R1)＜f(R2),所以函数f(R)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（3）由f()=f(R1)-f(R2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(R)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(

8、R

9、)＜f(9),得

10、R

11、＞9,∴R＞9或R

12、＜-9.因此不等式的解集为{R

13、R＞9或R＜-9}.题型四、函数奇偶性：例4：已知定义在R上的奇函数f(R)有最小正周期2，且当R∈(0,1)时，f(R)=.（1）求f（R)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(R)在（0，1）上是减函数.解：（1）当f（R）=(2)证明当R∈(0,1)时，f(R)=设0＜R1＜R2＜1,则f(R1)-f(R2)=∵0＜R1＜R2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(R1)-f(R2)＞0,即f(R1)＞f(R2),故f(R)在（0，1）上单调递减.变式

14、训练4：已知f(R)是R上的奇函数，且当R∈(-∞,0)时，f(R)=-Rlg(2-R),求f(R)的解析式.解：∵f（R）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当R＞0时，-R＜0,由已知f(-R)=Rlg(2+R),∴-f（R）=Rlg（2+R），即f（R）=-Rlg(2+R)（R＞0）.∴f(R)=即f(R)=-Rlg(2+

15、R

16、)(R∈R).题型五、函数周期性：例5已知函数f(R)的定义域为R，且满足f(R+2)=-f(R).（1）求证：f(R)是周期函数；（2）

17、若f(R)为奇函数，且当0≤R≤1时，f(R)=R,求使f(R)=-在［0，2009］上的所有R的个数.（1）证明：f（R）是以4为周期的周期函数.（2）解：∴f（R）=由f(R)=-,解得R=-1.∵f（R）是以4为周期的周期函数.故f(R)=-的所有R=4n-1(n∈Z).令0≤4n-1≤2009,则≤n≤,又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z）,∴在［0，2009］上共有502个R使f(R)=-.变式训练5：已知函数R＝f(R)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数htt

18、p:///又知R＝f(R)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在R=2时函数取得最小值http:///①证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.解：∵f(R)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴http:///②当时，由题意可设，由得，∴，∴http:///【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】③∵是奇函数，∴，又知R＝f(R)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，f(R)=-3R，从而当时，，故时，f(R)=-3R