高中数学 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

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1、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y＝f(x)定义域为A，区间MA，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数．如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，

2、最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇

3、偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个

4、非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是f(x)的周期(k为非零整数)．(2)若T为y=f(x)的最小正周期，则为y=Af(ωx+φ)+b的最小正周期，其中ω≠0．对称性：若函数y=f(x)满足f(a－x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线对称，若函数y=f(x)满足f(a－x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象

5、关于点(，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：8y=f(x)y=f(x＋a)y=f(x)y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图

6、象关于x轴对称y=－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称；y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=

7、f(x)

8、的图象可通过将y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(

9、x

10、)的图象：可先做出y=f(x)，当x≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满

11、足f(a－x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线对称，若函数y=f(x)满足f(a－x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a≠0，试确定函数在(－1，1)上的单调性．例2．讨论的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞)上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，都有且当时，f(x)＞0．又(Ⅰ)求证(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明

12、8例5．在R上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性(2)(其中φ(x)为奇函数，a＞0且a≠1)．例7．设函数是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x∈[2，3]时f(x)=(x－1)2+1，求当x∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)(2)y=

13、lg

14、x

15、

16、8例11．(1)作出方程｜x｜+｜y｜=1所表示的曲线．(2)作