第9章多元函数微分法及其应用近年试题

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1、0809B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设，则其全微分．3、函数的所有间断点是.二、选择题（每小题3分，共15分）1、，则极限（Ａ）（A）不存在（B）1（C）2（D）0A当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线（Ａ）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有3条；（D）不存在曲线的切向量,平面的法向量,,所以只有一条切线满足条件.3、点是函数的（Ｂ）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对分析:令,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是的鞍点

2、,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设求和解五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为则问题就是在条件下求函数的最小值.作拉格朗日函数求其对的偏导数，并使之为零，得到因为都不等于零，得代入,得这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为时,最小表面积0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数是由方程给出，则全微分．,.3、曲面在点处的切平面方程为.切平

3、面得法向量切平面方程为二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数在点处可微是两个偏导数都存在的（Ａ）　　　　　　　　　　　（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分）1、设，而、，求:、．解：，1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1)设二元函数，则.(2)旋转抛物面在点处的法线方程是.法线的方向向量法线方程是.二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4)设的全微分为则点(C)不是的连续点；不是的极值点；是的极小值点；是的极大值点.分析:,得,由,则点是的极小值点.三、求偏导数

4、（每小题10分，共20分）（1）设，其中具有二阶连续偏导数.求；；.解:(2)设是方程在点确定的隐函数，求及解:令…1分则…6分；…8分…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为，则，周长…2分设拉格朗日函数…4分令…6分解方程组得为唯一驻点，且最大周长一定存在…8分故当时，最大周长为…10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1.在点处的2.设函数在点取得极值，则常数.,,所以例36　设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反

5、问题，即知道取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解　因为在处的偏导数均存在，因此点必为驻点，则有，因此有，即．因为，，，，，所以，函数在处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3.在点处函数的全微分存在的充分条件为（Ｃ）(A)均存在(B)连续(C)的全部一阶偏导数均连续(D)连续且均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1.设是由方程所确定的隐函数，计算的值.解:设，则，，4.求函数在点沿着从该点到点的方向导数.解方向,.五、证明题（每小题7分，共7分）证明在点偏导数存在，但不可微.证:,............

6、.......3分当点沿曲线趋向时，.显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．这表示当时,1213B一、填空题（每小题2分，共10分）(2)极限..分子有理化(3)设二元函数，则.二、选择题（每小题2分，共10分）(1)设函数，则极限　　(Ｄ)(A).(B).(C).(D)不存在.当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．(2)二元函数在点处的全微分存在是它在该点连续的(   Ａ　)(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.如果函数在一点可微分,则函数在该点连续三、计算题（每小题8分，

7、共40分）(1)设，求，，和.解:(2)设是由方程所确定的隐函数，求和.解I：用隐函数求导公式，解II：将看作的函数，两边对求导，得：即，同理两边对求导得解III：将方程两边求全微分，得：，解出得：，将z看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：，，四、应用题（每小题10分，共20分）(1)求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.解:令,任取旋转抛物面上一点，该点的法向量,已知直线的方向向量因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行,,所以代入,得,所以所求的切平面方程为或.注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1.把看成是的函数，在方程组中对求导，

8、得，解得．则方向向量2.令，，直线的方向向量，(2)求函数在条件下的最大值与最小