2018_2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案新人教A版选修

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1、三　反证法与放缩法学习目标　1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一　反证法思考　什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案　(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理　反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题

2、的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二　放缩法思考　放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案　①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理　放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理

3、论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．10类型一　反证法证明不等式例1　设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1可知，a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与

4、ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．反思与感悟　当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1　设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明　假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1，即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，∴(2

5、－a)(2－b)(2－c)·abc＞1.①∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，∴(2－a)·a≤2＝1，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.例2　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

6、f(1)

7、，

8、f(2)

9、，

10、f(3)

11、中至少有一个不小于.证明　(1)f(1)＋f(3)－

12、2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.10(2)假设

13、f(1)

14、，

15、f(2)

16、，

17、f(3)

18、都小于，则

19、f(1)

20、＋2

21、f(2)

22、＋

23、f(3)

24、＜2，而

25、f(1)

26、＋2

27、f(2)

28、＋

29、f(3)

30、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，∴

31、f(1)

32、，

33、f(2)

34、，

35、f(3)

36、中至少有一个不小于.反思与感悟　(1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的

37、假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．跟踪训练2　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零．证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不

38、成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二　放缩法证明不等式例3　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．证明　＝≥＝≥x＋.同理可得≥y＋，≥z＋.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)．反思与感悟　(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．10