2018_2019学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法讲义（含解析）新人教a版

《2018_2019学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法讲义（含解析）新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异

2、分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明问题[例1]　已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

3、f(1)

4、，f

5、(2)

6、，

7、f(3)

8、中至少有一个不小于.[思路点拨]　“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明]　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

9、f(1)

10、，

11、f(2)

12、，

13、f(3)

14、都小于，则

15、f(1)

16、＋2

17、f(2)

18、＋

19、f(3)

20、<2.而

21、f(1)

22、＋2

23、f(2)

24、＋

25、f(3)

26、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴

27、f(1)

28、，

29、f(2)

30、

31、，

32、f(3)

33、中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：选D　“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．2．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b

34、)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.证明：假设4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，4d(1－a)>1，则有a(1－b)>，b(1－c)>，c(1－d)>，d(1－a)>.∴>，>，>，>.又∵≤，≤，≤，≤，∴>，>，>，>.将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)b.当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝

35、f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．故a(x＋y＋z)．[思路点拨]　解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．[证明]　＝≥＝≥x＋.同理可得≥y＋，≥z＋，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)．(1)利用

36、放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a，b是正实数，且a＋b＝1，求证：＋<.证明：因为＋<＋＝＝，所以原不等式得证．5．已知n∈N＋，求证：＋＋…＋<2.证明：因为<＝，<＝，…，<＝，所以＋＋…＋<＝n2＋n，又因为n2＋n<2，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶

37、数，则这两个数(　　)A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数解析：选C　假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系为(　　)A．M＞N　　　　　　　B．M＜NC．M＝ND．不确定解析：选B　N＝＋＞＋＝＝M.3.否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，