2018_2019学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修

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1、§7　向量应用举例内容要求　1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点1　点到直线的距离公式及直线的法向量1．点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．(3)设直线l的法向量n＝(A，B)，则与n同向的单位向量n0＝＝.【预习评价

2、】1．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．答案　22．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是(　　)A．(2,1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2，－1)答案　D知识点2　向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．【预习评价】1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则

3、F1＋F2

4、为(　　)A．(5,0)B．(－5,0)C.D．－答案　C2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则

5、力F对物体作的功为________．答案　4方向1　基底法解平面向量问题12【例1－1】　如右图，若D是△ABC内的一点，且2－2＝2－2，求证：AD⊥BC.证明　设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.∵＝－＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，∴⊥.即AD⊥BC.方向2　坐标法解决平面几何问题【例1－2】　求等腰直角三角

6、形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解　如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－.方向3　向量在平面几何中的综合应用【例1－3】　如图所示，△ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的直径，试判断P、Q在什么位置时·取得最大值．12解　根据题意可以求得：＝－，＝＋＝－－，∴·＝(－)(－－)

7、＝－·＋·－2＋·＝·－r2＋·(－)＝·－r2＋·＝

8、

9、·

10、

11、cos∠BAC－r2＋·＝bccos∠BAC－r2＋·.当与同向时，·最大值为

12、

13、·

14、

15、＝ra，即当与同向时，·取得最大值bccos∠BAC－r2＋ar.规律方法　用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．题型二　向量在解析几何中的应用【例2】　已知直线l过点A(1,1)，且它的

16、一个法向量为n＝(－2，1)．(1)求直线l的一般方程；(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．解　(1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．∴直线l的斜率为2.∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．整理得2x－y－1＝0.故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.12(2)∵直线l1与l垂直，∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)．∴直线l1的斜率为－.∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－(x－2)．整理得x＋2y－2＝0.故直线l1的一

17、般方程为x＋2y－2＝0.规律方法　1.已知直线的法向量n＝(a，b)，则其方向向量为m＝(b，－a)，利用方向向量可求得直线的斜率k＝－是求直线方程的关键．2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题．【训练1】　如图，在▱OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y(0

18、－y，＝－＝(－)－x＝－(1＋x)＋，又∥，有x－y(1＋x)＝0，即f(x)＝(00，得F(x1)－F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)．∴F(x)在(