高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例教学案 北师大版必修4

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1、7向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式若M(x0，y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝

2、·n0

3、?提示：如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝

4、

5、.在Rt△MPN中，

6、

7、是在方向上的射影的绝对值，则

8、

9、＝

10、

11、

12、cos∠PMN

13、＝

14、

15、

16、×1×

17、cos∠PMN

18、＝

19、

20、×

21、n0

22、×

23、cos∠PMN

24、＝

25、·n0

26、∴d＝

27、·n0

28、.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，(1)求证：CD

29、＝AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．[尝试解答]　以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)．(1)证明：∵D为AB的中点，∴D(，)，∴

30、＝，

31、

32、＝，∴

33、

34、＝

35、

36、，即CD＝AB.(2)∵E为CD的中点，所以E(，)，设F(x,0)，则非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＝(，－m)，＝(x，－m)，∵A、E、F共线，∴＝λ，解得(x，

37、－m)＝λ(，－m)，∴即x＝，即F(，0)．＝(，－m)．∴

38、

39、＝.即AF＝.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模；(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，试求对角线AC的长．讲一讲2．已知过

40、点A(0,2)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，若O为坐标原点，且＝12，求k及直线l的方程．[尝试解答]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。由题意知，l的方程为y＝kx＋2，由得，(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1x2＝∵＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12.y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2∴x1x2＋(

41、kx1＋2)(kx2＋2)＝0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，∴(1＋k2)×＋2k×－8＝0，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2.过点M(，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当最大时，求直线l的方程．解：可知圆C的圆心C(1,0)，半径r＝2∴＝

42、cos∠ACB＝2×2cos∠ACB＝4cos∠ACB当最大时，∠ACB最小．连接CM，当AB⊥CM时，∠ACB最小非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。这时直线l的法向量为：＝(，1)－(1,0)＝(－，1)．∴l的方向向量为(1，)，∴l的斜率为k＝故直线l的方程为y－1＝(x－)，即2x－4y＋3＝