高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例学案 北师大版必修4

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1、§7　向量应用举例1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[基础·初探]教材整理　向量应用举例阅读教材P101～P103，完成下列问题．1．点到直线的距离公式若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝.2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要

2、有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)△ABC是直角三角形，则·＝0.(　　)(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．(　　)(4)直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量是(A，B)．(　　)【解析】　△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，则·≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________

3、_________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_____

4、______________________________________________________[小组合作型]向量在平面几何中的应用已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线．图2－7－1【自主解答】　设△BCD外接圆的圆心为O，半径为R，连接OB，OC，OD，取＝b，＝c，＝d，则

5、b

6、＝

7、c

8、＝

9、d

10、，又由题意，知和分别为120°和90°的弧．∴b·d＝0，b·c＝

11、b

12、

13、c

14、cos120°＝－R2.又∵＝＋＝c＋3＝c＋3(d－c)＝3d－2c，＝－＝b－3d＋2c.∴·＝(b－3d＋2c)

15、·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，即⊥，∴AB是⊙O的切线．1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系．2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．[再练一题]1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，(1)求证：CD＝AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．【解】　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m

16、)．(1)证明：∵D为AB的中点，∴D，∴

17、

18、＝，

19、

20、＝，∴

21、

22、＝

23、

24、，即CD＝AB.(2)∵E为CD的中点，∴E，设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．∵A，E，F共线，∴＝λ，解得(x，－m)＝λ，∴即x＝，即F，＝，∴

25、

26、＝，即AF＝.向量在物理中的应用　某人在静水中游泳，速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？【精彩点拨】　解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．【自主解答】　

27、(1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，

28、

29、＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，在Rt△AOB中，

30、

31、＝4，

32、

33、＝4，

34、

35、＝4.∴cos∠BAO＝，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为