高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课堂导学案北师大版必修4

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1、2.7向量应用举例课堂导学三点剖析1.用向量解决简单的几何问题【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a,=b,则=a-b,=a+b.而

2、

3、=

4、a-b

5、=,∴

6、

7、2=5-2a·b=4.①又

8、

9、2=

10、ab

11、2=a2+2a·b+b2=

12、a

13、2+2a·b+

14、b

15、2=1+4+2a·b.由①得2a·b=1，∴

16、

17、2=6，∴

18、

19、=，即AC=.友情提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.各个击破类题

20、演练1已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.解析：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又∵D是BC的中点,∴=(+)=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴=-=(1.75,2).变式提升1如右图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++,求证：⊥.4∵=-，=-=（++）-=+，∴·=（-）·（+）=

21、

22、2-

23、

24、2.∵O为外心，∴

25、

26、=

27、

28、，即·=0，⊥.

29、2.用向量解决物理问题【例2】一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：

30、F1

31、=,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：

32、F1

33、=,θ∈［0,π］,当θ=0时,

34、F1

35、=；当θ=时,

36、F1

37、=

38、G

39、；又θ∈(0,π)时,

40、F1

41、单调递增,故当θ∈(0,)时,F1∈(,

42、G

43、),当θ∈(

44、,π)时,

45、F1

46、＞

47、G

48、.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.友情提示在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练2在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.4解析：作OACB（左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，

49、

50、=

51、

52、cos30°=(N),

53、

54、=

55、

56、sin30°=150(N),

57、

58、=

59、

60、=150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳

61、子的拉力是150N.变式提升2如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①由①，得w+p+f=(mgcosα,mgsinα)+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα.3.在实际问题中怎样用向量【例3】已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别

62、对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦)（2）W=F·=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+

63、(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).友情提示4力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.类题演练3如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解析：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),则a1=300cos30°=259.8,a2=300sin30°=150,b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,∴f1=(2