极坐标和参数方程15道典型题(有答案解析)(2)

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1、极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆，直线的极坐标方程分别为，．（1）求与的直角坐标方程，并求出与的交点坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点．已知直线的参数方程为（为参数，），求的值．（1）由极直互化公式得：………4分联立方程解得交点坐标为………5分（2）由（1）知：，所以直线：，化参数方程为普通方程：，对比系数得：，………10分2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（

2、是参数，是常数）（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.解：（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分消去参数得的方程：----------------------4分（2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得：，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则，解得：-----------10分3.已知椭圆，直线（为参数）．（I）写出椭圆的参数方程及直线的普通方程；（II）设，若椭

3、圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等，求点的坐标．解：（Ⅰ）C：（θ为为参数），l：x－y＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),则

4、AP

5、＝＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝＝．由

6、AP

7、＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－．故P(－，)．…10分4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足

8、OP

9、·

10、OM

11、＝4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求

12、曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋)＝的距离的最大值．解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．………………………………5分（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋．………………………………105.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。现以极点为原点，极轴

13、为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）。（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线和曲线交于两点，定点，求的值。【解】（1），所以。所以，即。…………………………直线的普通方程为。……………………………………（2）把的参数方程代入得：。设对应参数分别为，则，点显然在上，由直线参数的几何意义知。…………………………6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标

14、方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．……5分（II）设P，又C．∴

15、PC

16、==≥2，因此当t=0时，

17、PC

18、取得最小值2．此时P（3，0）．……10分7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐

19、标方程．解：(1)将极坐标方程ρcos＝1化为：ρcosθ＋ρsinθ＝1.则其直角坐标方程为：x＋y＝1，M(2,0)，N(0，)，其极坐标为M(2,0)，N.(2)由(1)知MN的中点P.直线OP的直角坐标方程为y＝x，化为极方程为：ρsinθ＝·ρcosθ.化简得tanθ＝，即极坐标方程为θ＝.8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q

20、点到直线l距离的最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为